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GÉOMÉTRIE. — Note sur ta théorie des surfaces réglées; par M. O. Bonnet. 



(Extrait.) 



a M. Bertrand ayant bien voulu rappeler, dans la précédente séance, 

 trois théorèmes que j'avais donnés, en 1842, dans mon premier Mémoire 

 sur la théorie générale des surfaces, je demanderai à l'Académie la permis- 

 sion de lui communiquer un théorème qui complète le second de ceux que 

 M. Bertrand a cités, théorème que je connais depuis bien longtemps, mais 

 que je n'ai pas eu jusqu'à ce jour occasion de publier. 



» Soient O et O' deux points infiniment voisins de la ligne de striction 

 d'une surface gauche, OG, O'G' les deux génératrices rectilignes qui passent 

 par les points O et O'; appelons Op = cIsç, la perpendiculaire commune 

 à OG et O'G', MW ^ ds la perpendiculaire abaissée sur O'G' d'un point 

 quelconque M de OG, (p l'angle du plan tangent en M avec le plan tangent 

 en O, <p 4- d(p l'angle du plan tangent en M' avec le plan tangent en O', 

 Po la courbure moyenne (c'est-à-dire la demi-somme des courbures princi- 

 pales) au point O, p la courbure moyenne au point M ; on a 



ds dSd d^ 



p po 2 



» Le théorème cité par M. Bertrand fait connaître la loi suivant laquelle 

 la courbure de la surface (c'est-à-dire la moyenne géométrique des cour- 

 bures principales) varie tout du long d'une même génératrice rectiligne ; le 

 nouveau théorème exprime la même loi pour la courbure moyenne ; de 

 telle sorte que par ces deux théorèmes on connaît en un point quelconque 

 d'une génératrice tous les éléments qui dépendent de la courbure, quand on 

 se donne la courbure et la courbure moyenne au point central, ainsi que 

 l'angle i sous lequel la ligne de striction coupe les génératrices. 



» L'espace me manque pour développer des applications ; mais je ferai 

 remarquer que l'on obtient aussi avec une grande facilité l'équation des 

 lignes de courbure, l'équation qui donne les rayons de courbure princi- 

 paux, l'équation des lignes asymptotiques non rectilignes, l'équation re- 

 marquable que M. Bertrand a donnée dans le journal de M. Liouville pour 

 trouver les points où la courbure moyenne est nulle, etc. » 



M. Passot prie l'Académie de vouloir bien hâter le travail de la Com- 

 mission qui a été chargée de l'examen de sa dernière Note. 



Cette Lettre est renvoyée aux Commissaires désignés, MM. Bertrand et 



