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ANALYSE MATHÉMATIQUE.— Sur quelques ihéorèmes d'algèbre et la résolution de 

 l'équation du quatrième degré; par M. Hermite. 



» On sait que toute équation y (a:) = o peut être transformée en une 

 autre du même degré en j' par la substitution j" = <p (^), où i^x désigne une 

 fonction rationnelle. Ce procédé de transformation, qui est si fréquemment 

 employé en algèbre, va nous servir pour ramener l'équation générale du 

 quatrième degré aux équations particulières qui ont été considérées dans 

 un précédent article, et dont j'ai exprimé les racines au moyen des fonc- 

 tions elliptiques. Mais en raison de son importance, et notamment de son 

 application à la résolution de l'équation du cinquième degré, ce mode de 

 transformation m'a paru demander une étude nouvelle, et je commencerai 

 d'abord par en donner les résultats. 



» Soit 



f{x) — ax" -+- bx"~* + . . . + gx'' + hx + k = o 



l'équation proposée; l'expression la plus générale de cpx sera, comme on 

 le sait, une fonction entière du degré « — i , savoir : 



(p{x) = t + toX-h t,X^ -+- . . . + t„-iX"- 



Cela posé, en représentant la transformée en j^ par 



J" + P<f~' + /'î/""' + . . . + p„ = 0, 



l'un quelconque des coefficients, tel que />/, sera une fraction ayant pour 

 dénotninateur «'""')', et pour numérateur une fonction entière, homogène, 

 de degré i par rapport kt, t^, t,,. . . , t„_^ , et de degré {n — i)i par rapport 

 aux coefficients a, b,. . . , h, k. Ce degré si élevé rend en quelque sorte 

 impraticable le calcul de l'équation en j-; aussi ce qui a été obtenu de plus 

 important par la considération de cette transformée, en particulier le théo- 

 rème de M. Jerrard sur l'équation du cinquième degré, ne semble établi 

 qu'à titre de possibilité, en raison de l'excessive complication des opéra- 

 tions nécessaires pour parvenir à un résultat effectif. Mais on peut surmon- 

 ter ces difficultés par la proposition suivante. 

 » Soit 



t = aT + bTo-+- ...-h gT„_,-hhT„ 

 io = «To^-6T,-^... + gT„_„ 



n— 1 



'5 



■•n— 2 5 



</i-3 = «T„_3 -i-bT„ 



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