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 >> Celte substitution effectuée dans ta fonction p^ la changera en une fonction P, 

 du même degré par rapport aux indéterminées nouvelles T, T^, T, , . . . , T„_2, mais 

 débarrassée de tout dénominateur, et du degré i seulement par rapport aux coeffi- 

 cients a, h, ..., h, k. Déplus P„ sera divisible par a ^ de sorte que- P„ ne sera 



que du degré n — i par rapport à ces coefficients. 



» Cette proposition, très-facile à établir, conduit à la véritable forme ana- 

 lytique qu'il est convenable de donner à la fonction ? (a-), de sorte que dé- 

 sormais la formule de transformation sera ainsi représentée : 



j=(f{x):=^aT- 



ax 

 h 



ax'' 



bx 



c 



T. 



-4 ax"-' 

 -4- hx"-"" 



et l'équation transformée par 



+ P„= o; 



tous les coefficients étant des fonctions entières de ceux dey ( j:). 



» Une autre conséquence résulte encore de l'introduction des variables T, 

 To, T, ,.">T„_2- On sait de combien de travaux a été l'objet la théorie des fonc- 

 tions homogènes à deux indéterminées, et combien de notions analytiques 

 importantes cette étude a données à l'algèbre. Par exemple, ces fonctions 

 désignées sous le nom d'invariants, en raison même de la propriété qui leur 

 sert de définition, de se reproduire dans toutes les transformées par des sub- 

 stitufions linéaires, donnent les éléments qui caractérisent les propriétés 

 essentielles des racines des équations algébriques, celles qui subsistent dans 

 ces diverses transformées (*). D'autre part, la connaissance acquise de ces 

 fonctions, et de celles qu'on nomme covariants, permet, dans beaucoup de 

 circonstances, d'obtenir sans efforts le résultat de longs calculs qui, sans 

 leur emploi immédiat, n'eussent au fond servi qu'à les mettre en évidence, 

 ou à faire ressortir dans une question spéciale l'une des propriétés dont on 

 possède maintenant la signification la plus étendue. Mais tant de beaux 



(*) Par exemple, les conditions qui déterminent le nombre des racines réelles et imagi- 

 naires dans les équations à coefficients réels, dépendent uniquement des invariants, sauf le 

 cas du quatrième degré. J'ai donné ces conditions, indépendamment du théorème de 

 M. Sturm, pour les équations du cinquième degré, dans un Mémoire sur la théorie des fonc- 

 tions homogènes à deux indéterminées [Cambridge and Dublin Muthematical Journal; 

 année i854.) 



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