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 » On pourra donc, et d'une infinité de manières, en s'adjoignant dé 

 simples racines carrées, déterminer une substitution qui ramène toute 

 équation de quatrième degré à l'équation (4), dont les racines ont été expri- 

 mées par les fonctions elliptiques. Et on remarquera que f est bien un cova- 

 riant de la forme 



y= ax" -+- 4 bx^j-'t- 6 cx^y^ -+- l\dxj^ ■+- ej\ 



car cette quantité peut s'obtenir en remplaçant dans l'expression 



a:*, xy, y^ d'une part, |*, %-f\,r!^ de l'autre, respectivement par To, T,, T^, 

 d'ailleurs I et J sont les deux invariants et I" — 27 J^ le discriminant. 



» Mais il est une autre équation que présente la théorie de la transforma- 

 tion du troisième ordre et à laquelle on pourrait, par une substitution 



de la forme y=^ -.-, ramener également toute équation du quatrième 



degré. Soit, en général, pour un ordre quelconque /z, 



en partant des expressions données dans les Fundamenta pourX et X' et 

 d'où on tire 



■yj^ y,„ sincoamaM.sincoam ^m,. . .,sincoani(n — i) w 



Aam 2w. Aam4«, ■ • . , Aam (« — i)u 



le p. Joubert a fait la remarque importante que les fonctions rationnelles 

 symétriques des diverses valeurs de V qui correspondent à toutes les dé- 

 terminations de oj, ne dépendent que du produit du module par son com- 

 plément, de sorte qu'il existe entre V et U une équation de degré n -h i, 

 analogue pour plusieurs propriétés essentielles (*) à l'équation modulaire 

 entre v et u. Par exemple, pour « = 3, n = 5, h = 7, le calcul effectué par 

 le P. Joubert donne les relations 



V* - 4 U' V H- a UV + U* =r o, 



V- i6U»Y»-f- i5U''V*+ i5U*V='+4UV + U'' = o, 

 V«-64UW + 7.48U'V''-7.96U^V*^7.94U*V* 

 -7.48U'V'+7.i2U'V«-8UV+U'' = o. 



(*) Ces propriétés seront l'objet d'un prochain article. 



