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» Soit AD = ar, PD = s (côté de l'hexagone), GG' = j = DS la perpendi- 

 culaire ou largeur du rhombe ADEG. L'équation à différentier (la somme 

 des surfaces du rhombe et des deux trapèzes EIZD et AHZD, tiers de l'al- 

 véole) sera 



dont la différentielle doit être égalée à zéro, et nous aurons x ^ s et ^ = ^ 

 aussi. Mais cela nous donne DS = OD, et par conséquent l'angle SED = an- 

 gle OED, et prenant DE pour rayon, nous avons l'angle DES, celui dont le 

 cosinus égale un tiers du rayon, qui par la table des cosinus naturels, veut 

 dire un angle de 70° 3a'. Mais aussi il est clair que l'égalité de l'angle DES, 

 que fait le rhombe avec le côté de l'hexagone, à l'angle EEO, donne 

 l'angle de 1 20 degrés de l'hexagone comme l'inclinaison de la plaque rhom- 

 boïdale, et cet angle-là ne pourra dépendre des tables : moins encore dépend 

 des tables l'égalité de DS à DO. 



» Si l'on cherche un autre minimum très-important par l'économie de 

 cire et de travail, la longueur des angles dièdres (IH étant constant), en 

 prenant encore x = AD pour variable indépendante, nous trouvons exacte- 

 ment la valeur du minimum de x =^ s. Ainsi la même économie d'angle 

 dièdre est gagnée que de surface. La fabrication de ces angles demande pins 

 de cire et un travail plus soigné que ne demande la fabrication des autres 

 parties de la surface. 



•)) Mais MM. Castillon et Lhuiller [Mémoires de l'Académie de Berlin, 1 781) 

 ont cru prouver que cette économie n'est pas le but des travaux de l'abeille, 

 car, disent-ils, il y a une autre forme de l'alvéole, par ce qu'ils appellent le 

 minimum minimorum, qui ferait une plus grande épargne. Mais ils con- 

 viennent qu'une alvéole, selon leur solution du problème, 2 ^ à 3 fois plus 

 large qu'elle n'est profonde, ne servirait pas aux objets de l'abeille (ils 

 auraient dû dire : ne pouvait aucunement servir ni à élever la chrysalide ni 

 à garder le miel). Ainsi, pour qu'il y ait sacrifice d'un but à l'autre, ils pré- 

 tendent que l'économie n'entre pas du tout dans le calcul. Rien n'est plus 

 inconséquent que ce raisonnement, mais encore ils n'ont pas résolu le 

 problème qu'il fallait : ils ont fait omission de la plaque hexagonale qui 

 bouche le tuyau. En prenant DS = /^«S; S côté de l'hexagone; AD = x', 

 AH = jr^ et le contenu de l'alvéole = A, nous avons ■ 



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y = — 7=-' 



