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 obtenus, son énoncé est celui-ci : Une fonction de n lettres, qui a plus de 

 deux valeurs, en a au moins n, si n est > /(. 



» On était naturellement conduit à chercher les plus petits nombres 

 après «, qui pouvaient représenter les valeurs d'une fonction de n lettres, et 

 M. Bertrand a démontré ce théorème : 



» Une fonction de n lettres qui a plus de n valeurs, en a au moins an, 

 si n est > 9. 



» M. Serret a substitué à cette limite n > 9 la limite n > 8, dans un beau 

 Mémoire où il aborde la question par une méthode nouvelle qui lui permet 

 d'obtenir une rigueur plus absolue en s' affranchissant de toutpostulatum. 



» Dans le Mémoire que j'ai l'honneur de présenter à l'Académie, j'ai montré 

 qu'on pouvait encore abaisser la limite obtenue par M. Serret et y substi- 

 tuer « > 6 ; d'ailleurs cette limite ne saurait être abaissée davantage, car 

 une fonction de six lettres qui a plus de six valeurs peut n'en avoir que dix. 



» M. Serret a aussi démontré le théorème suivant : 



» Une fonction de n lettres qui a plus de 'in valeurs en a au moins 



n(n — i) 



^jsi«est>i2. 



2 



» J'ai reconnu que ce théorème est vrai quel que soit n, et qu'ainsi la 

 restriction n> 12 n'était pas nécessaire, et j'ai encore démontré ce 

 théorème : 



y> Une fonction de n lettres qui a plus de — valeurs, en a au 



moms « (« — i) si n est > 8. 



» Je me suis aussi occupé, dans ce Mémoire, de chercher le nombre de 

 valeurs que peut acquérir une fonction qui a moins de huit lettres. On sait 

 que cette étude avait été déjà faite par M. Cauchy jusqu'à six lettres, et 

 qu'elle avait été reprise par M. Serret jusqu'à cinq lettres sous un point de 

 vue tout différent; mais on n'avait pas encore cherché le nombre de valeurs 

 que peut acquérir une fonction de sept lettres. M'étant occupé de cette re- 

 cherche, j'ai trouvé que sur les soixante diviseurs des produits i .2.3.4-5.6.7, 

 il y en a trente qui sont susceptibles de représenter le nombre de valeurs 

 d'une fonction de sept lettres, ce sont : 



I, 2, 7, i4, 21, 35, 42» 70, 84, ïo5, 

 120, 126, i4o, 210, 240, 252, 280, 3i5, 36o, 42o> 

 5o4, 56o, 63o, 720, 840, 1008, 1260, 1680, 2520, 5o4o. 



» Pour déterminer le nombre de valeurs que peut acquérir une fonction 

 d'un nombre déterminé de lettres, j'ai repris la très-belle idée de M. Cauchy, 

 qui consiste à considérer, dans celte théorie, deux genres de fonctions : les 



