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 fonctions transitives et les fonctions intransitives. Cette division étant faite, 

 les nombres de valeurs que peut acquérir une fonction intransitive de n let- 

 tres peuvent se déterminer immédiatement lorsqu'on a fait l'étude des 

 fonctions qui ont moins de n lettres, et alors les recherches ne doivent plus 

 se porter que sur les fonctions transitives. 



n Mais pour déterminer ces fonctions transitives, j'emploie une méthode 

 différente de celle de M.Cauchy, et je commence par établir ces deux théo- 

 rèmes que j'appelle fondamentaux : 



» 1°. Une fonction transitive de n lettres, qui est transitive par rapport à 



un certain nombre de ses lettres, 5 étant > -» estn — 6 + i fois transitive, 



à moins qu'elle ne soit transitive par rapport à des groupes transitifs; 

 » 2°. Si une fonction transitive de n lettres est transitive par rapport à 



un certain nombre Ô de ses lettres, qui n'est pas > -» cette fonction est 



transitive par rapport à des groupes transitifs. 



» Ces deux théorèmes établis, supposons que nous ayons fait l'étude de 

 toutes les fonctions qui ont moins de n lettres ; nous pouvons déterminer 

 immédiatement le nombre de valeurs des fonctions de n lettres, transitives 

 par rapport à des groupes transitifs, et il reste à déterminer le nombre de 

 valeurs que peuvent acquérir les autres fonctions transitives de n lettres ; 

 ces fonctions acquièrent toutes leurs valeurs considérées comme fonctions 

 de 7î — T lettres, et il faut chercher parmi les nombres qui conviennent aux 

 fonctions de n — i lettres, quels sont ceux qui peuvent convenir à une 

 fonction transitive de n lettres. La plus grande partie de ces nombres sont 

 éliminés par les deux théorèmes fondamentaux, et nous reconnaissons par 

 des moyens directs quels sont, parmi les nombres qui restent, ceux qui 

 peuvent convenir à des fonctions transitives de n lettres. 



» A l'exception de deux fonctions, toutes les fonctions transitives que 

 l'on rencontre jusqu'à sept lettres, et qui ne sont pas transitives par rapport à 

 des groupes transitifs, sont celles qui sont données par les quatre théorèmes 

 suivants, dont les deux premiers bien connus sont de Lagrange, et dont les 

 deux autres, je crois, m'appartiennent : 



» 1°. II y a toujours une fonction transitive de n lettres qui a 

 i.a ...(« — i) valeurs: 



» 1°. Si n est premier, il y a une fonction deux fois transitive de n lettres, 

 qui a I . a ... (n — a) valeurs ; 



» 3°. On peut toujours former une fonction transitive de n lettres, qui 



.. 1.2. . .(«— i) , 

 ait ! '- valeurs ; 



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