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 passer aux cas supérieurs, je me suis occupé encore à chercher une manière 

 plus directe de résoudre les équations du cinquième degré, sans faire aucune 

 réduction préalable des coefficients. Et en effet j'ai réussi à trouver la résolu- 

 tion que je désirais, à l'aide de principes qui s'appliquent également à des 

 problèmes ultérieurs, qui cependant ne m'ont pas encore fourni jusqu'à 

 présent la solution complète de ces derniers. Occupé depiis longtemps de 

 questions relatives à la théorie des nombres, je n'ai pu poursuivre les re- 

 cherches algébriques dont je viens de vous parler; maisj'espère revenir dans 

 quelque temps à ces problèmes intéressants et en compléter la solution, à 

 moins que cela ne soit au-dessus de mes forces. 



» Maintenant pour revenir au problème que vous avez résolu avec tant 

 d'élégance, désignons par jî-q, a:,,X2, x^, x^, les racines d'une équation 

 quelconque du cinquième degré : X = o. Puis faisons 



— ^^ ^^ l"^m -^.n+n ^,»+2n ~r- '^••^.n -^m+rt >^m+2n j • Sin r 1 

 m=o n=i 



V étant une quantité variable. Enfin soit 



Jr -—J\.^i -^rt '^r+il '^r+ij '^r+li '^r+2) 



pour les cinq valeurs' de l'indice r = 0,1,2, 3, 4. Cela posé, toutes les six 

 fonctionsy sont cycliques par rapport aux quantités x, c'est-à-dire la fonc- 

 tion y (i', ^o, a;,, X2, X3, Xj,), par exemple, n'est pas altérée en effectuant 



une des permutations circulaires ( ' ) , mais elle est changée par toute 



autre permutation des lettres x. Or on sait que la valeur d'une fonction cy- 

 clique quelconque de Xq, x,,..., étant connue, chacune de ces racines 

 s'eîcprime en fonction algébrique explicite des quantités données, et Ion 

 connaît d'ailleurs la forme précise de cette expression. Je rappelle en outre 

 que, toutes les valeurs distinctes d'une fonction cyclique étant données, les 

 cinq racines x s'en déduisent rationnellement. On obtiendra donc deux mé- 

 thodes différentes pour représenter les racines X comme fonctions explicites 

 des coefficients de l'équation X = o, si l'on parvient à exprimer les fonctions 

 cycliques^ d'une manière explicite par les fonctions symétriques des quan- 

 tités X. Pour faire cela, déterminons la valeur de v telle, quie la condition 



