( laaS ) 

 » Dans le second, ]es coefficients inconnus de Do(jr),D, (a:),..., D„ (x), 

 dépendent d'un système linéaire surabondant, et le problème proposé est 

 impossible. Le meilleur parti à prendre consiste à traiter ce système par la 

 méthode des moindres carrés en supposant le même poids aux valeurs don- 

 nées de f (Xo), 9 (x, ),..., f (ar,„). On obtient de cette manière une valeur 

 approchée de tp' [x], sous la forme d'un polynôme ordonné suivant les dé- 

 nominateursDo [x), D, (a?),..., D„ [x). En examinant alors de près la com- 

 position des coefficients, et revenant au premier cas, on voit que parmi 

 toutes les fractions rationnelles susceptibles de conduire à une représentation 

 exacte de f {x), c'est-à-dire parmi toutes les fractions rationnelles dont le numé- 

 rateur est d'un degré inférieur dune unité au degré du dénominateur, la fraction 



OÙ X est un facteur constant, jouit de cette propriété remarquable : si dans le dé- 

 veloppement correspondant 



(B) ?(x)= 2 [>^'/*+.D*(^) 2 T>,{Xi),f{xi)^, 



k—O i=0 



on ne prend que les premiers termes, en nombre quelconque p-h i , on obtient 

 une valeur approchée de(p [x) qui est de tous les polynômes z entiers et ration- 

 nels du même degré p, celui qui rend minimum la somme des carrés des erreurs 



» 5. Pour X = I , c'est-à-dire dans le cas de la fraction 



F(x) _ y i_ 



F(.rj ~ 2éi3: — Xi' 



on a la formule 



(C) t(-^)= 2 [îAH-.D,(a-) 2. Dk{Xi)(p{xi)j. 



qui avait été indiquée à priori et sans démonstration par M. Tcbebichef, 

 dans une Note lue à l'Académie de Saint-Pétersbourg, et insérée dans le 

 tome LUI du Journal de Crelle. 



» 4. Enfin en adoptant pour Xq, x,, . . ., x^ des nombres croissant par 



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