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 degrés égaux et insensibles de — i à +i, on trouve, comme cas particu- 

 lier de la formule (B), le développement connu 



n=:00 



(D) <f{x) = '^'-n{n-^i)X„£'\:f(x')dx', 



n=o 



suivant les fonctions X„ de Legendre. 



» Ces fonctions sont ici fournies par le développement en fraction con- 

 tinue de l'expression 



hm > = log , 



que l'on peut mettre sous la forme remarquable 



, X +1 I 1 I 



'a: — I XjXi aXiXj 3X, X3 /rX„_|X„ 



» Il résulte d'ailleurs de la propriété énoncée au n" 2 que la somme des 

 P -h i termes du développement (D) est paimi toutes les fonctions z rationnelles 

 et entières du même degré p celle qui rend minimum la valeur moyenne 



[(p{x)-zYdûc, 



de [erreur (p [x) — z prise depuis x= — i jusqu'à x = -\-i; proposition 

 qu'on peut démontrer d'ailleurs directement comme la fait M. Plarr dans 

 une Note présentée à l'Académie des Sciences, le 1 1 mai iSSy. 



j) o. Tels sont les principaux résultats démontrés dans ce Mémoire, où 

 l'on trouvera en outre une étude détaillée de la fraction continue (3), les 

 propriétés les plus importantes de la série de quatre éléments considérée par 

 Gauss dans le second volume des Mémoires de Gôtlingue, et enfin un procédé 

 nouveau et général de recherche des propriétés des fonctions X„. 



» Note. — M. J. Bertrand vient de me communiquer le cahier des An- 

 nales de Tortolini qui a paru ces jours derniers, et où M. Brioschi démontre 

 la formule (A). Mon Mémoire était entièrement rédigé et avait été lu par 

 MM. J. Bertrand et O. Bonnet, mes anciens maîtres, il y a plus d'un mois, 

 c'est-à-dire avant la publication du Journal cité. D'ailleurs, dans sa Note 

 rapide, M. Brioschi ne parle que de la formule (A), et ne dit rien du cas 

 où /n est plus grand que «, ni des propriétés, si importantes, relatives aux 

 moindres carrés, aux fonctions X„, etc. » 



