( '-37 ) 

 c'est-à-dire 



(8) a =:\a-h sin m, 0= /) -t- cosç, 



|_ Va'cos-(p+ 6'sin'(fJ L \J a' cos' if + h' sin' <f\ 



k étant une nouvelle constante, égale k h 



» 5. Le système (8) peut être regardé comme représentant l'intégrale 

 générale de l'équation (5). Pour mettre cette intégrale sous la forme 

 F (a, p, k) = o, on élimine la variable auxiliaire if, et l'on obtient (*) 



{a' -h^^ - a^ - b' - k'-y (a* ^■' ^ b^ a" ~ «^ A* - b' k^ - à" hy 

 + 4«' ^' ^' (a- + P' - fl" - ^^ - A-=)' 



-h iSnn" k^{a^-h ^^-a'-b^- k^) (a« ^^ + b^ a} - a^ P - b^ k^ - a" b') 

 + 4(a*/3» + ^"a=-aU=- b'k^ -aH^y - i-ja* b* k* = o. . 



Telle est l'équation générale des toroïdes : lorsque A: = o, elle devient 



{a''j^ + b^x''-ha^b'Y = o. 



» 6. Dans l'équation (i), supposons b = c = a, nous aurons 



s 1 1 



3 , „,3 „3 



(A) j:*+jr^ = a 



La courbe (A) est celle dont lord Brougham s'est occupé. On sait qu'elle 

 peut être regardée, soit comme l'enveloppe d'une droite (D), de longueur 

 constante, glissant sur les côtés d'un angle droit, soit comme Vépicycloide 

 décrite par un point d'une circonférence roulant dans une circonférence quatre 

 fois plus grande. 



» En répétant sur l'équation (A) les calculs précédents, on trouve, au 

 ieu des équations (3), (4), (5), (6), (8), les relations suivantes; 



9) {d(t' -\-dp''){ada-^ ^d^Y = a^da.*d^^, 



10) jr = asin'(p, j- = — «cos'ip, 



3 3 



11) ,$• = -rtsin^ip, l^-a, 



12) a = -7(20 + ûcosay + A:) sinip, ^ ^= j{-ia+ acosif-i- k)cos<p. 



n 7. Les formules (12) représentent les développantes de la courbe(A), 



*) Nouvelles Jnnales de Mathématiques, tome m, page 555. • 



C. R., 1857, 2"><: Semestre. (T. XLV, N" 4.) IQ 



