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 on l'intégrale générale de l'éqnation (9) : la constante arbitraire k est nulle 

 pour la développante qui passe par le sommet de la développée, c'est-à-dire 



par le point dont les équations sont .r = asin* -^^^ = — a sin^ y 



» 8. Cette développante particulière (B) jouit d'une propriété assez 

 curieuse : elle est semblable à la développée (A). De plus, son paramètre 



est -a. En effet, si l'on élimine cp entre les équations (12), après avoir sup- 

 posé k = o, on obtient, par un calcul facile, 



(i3) [4(a=' + |S^)-a']'+ io8ri'(p*-a=')^ = o; 



ou, en remplaçant les coordonnées rectangulaires par des coordonnées 

 polaires, 



(i4) (4«* — «*)'+ io8rt* M* cos' aci) = o. 



Mais, d'un autre côté, l'équation (A) équivaut à 



(i5) {u1 —a^Y -h^a'u\s\n* ioi, = o; 



et il est évident que les deux dernières relations rentrent l'une dans l'autre 

 si l'on suppose 



M, := M + 



» 9. Quand la droite (D) glisse sur les deux axes, en enveloppant lu 

 courbe (A), une parallèle quelconque (D') à (D) enveloppe une nouvelle 

 courbe (A') parallèle à (A) : je veux dire que les lignes (A), fA') ont les 

 mêmes normales, et que la longueur de ces normales communes est égale à 

 la distance comprise entre les droites (D), (D'j. Cette proposition, presque 

 évidente, permet de résumer ainsi les relations qui existent entre la courbe 

 (A), ses développantes, et les parallèles à cette ligne : 



» I. De même que la courbe (A), et ses parallèles, sont les enveloppes d'une 

 série de droites parallèles entre elles, et dont [une, de longueur a, glisse sur les 

 côtés d'un angle droit; les développantes de ces courbes sont les enveloppes d'une 



seconde série de droites, parallèles entre elles, et dont l'une, de longueur -a, 



glisse sur les bissectrices de l'angle droit. 



» II. y^ chaque courbe de la première série correspond, dans la seconde série , 



une cQurbe semblable : te rapport de similitude est — 



