III. Courbe gauche du troisième ordre considérée sur un hyperboloïde à une nappe. 



^<S'%^i 13. La courbe gauche du troisième ordre ne peut se trouver sur une 

 surface du second ordre, qu'autant que cette surface est engendrée par une ligne 

 droite, et est, par conséquent, un hyperboloïde à une nappe, lequel peut être, 

 dans les cas particuliers, un paraboloide hyperbolique, ou un cône, ou un 

 cjlindre. 



» 14. Quand une courbe gauche du troisième ordre est tracée sur un hy- 

 perboloïde à une nappe, elle rencontre en deux points toutes les génératrices d'un 

 même système de génération, et en un seul point toutes les génératrices du 

 deuxième système. 



» 15. Une surface du deuxième ordre quelconque ne rencontre une courbe 

 gauche du troisième ordre qu'en six points {réels ou imaginaires). 



» D'où il suit que : 



» Quand un hjperboldide à une nappe rencontre une courbe gauche du 

 troisième ordre en sept points, cette courbe est tout entière sur i hyperboloïde. 



» 16. Par une courbe gauche du troisième ordre et par une droite qui s'ap- 

 puie en un seul point sur la courbe , on peut faire passer un hyperboloïde ; 

 les génératrices de cette surjace qui s'appuient sur la droite donnée rencontrent 

 la courbe, chacune en deux points. 



» 17. On conclut de là que : 



u Par un point quelconque de l'espace on peut toujours mener une droite 

 {et on n'en peut mener qu'une), qui s'appuie en deux points sur une courbe 

 gauche du troisième ordre. 



» 18. Par conséquent : 



» La perspective, ou la projection d'une courbe gauche du troisième ordre sur 

 un plan, est une courbe du troisième ordre ayant toujours un point double ou 

 conjugué. 



» 19. Quand une droite s'appuie en deux points sur une courbe gauche du 

 troisième ordre, on peut mener par un point pris arbitrairement dans l'espace 

 un hyperboloïde passant par la courbe et par la droite. 



» Tous les hyperboloïdes ainsi déterminés ont pour intersection com- 

 mune la courbe et la droite. 



» 20. Quand deux droites s'appuient , chacune en deux points, sur une courbe 

 gauche du troisième ordre, ces deux droites et la courbe sont sur im même hyper- 

 boloïde. 



» 21 . Si une droite qui s'appuie en deux points sur une courbe gauche du 



