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 courbes gauches du troisième ordre passant par les trois points et tangentes aux 

 deux droites. • vmmoc^wi iv»i>i^us"a ib\j> ' 



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VII. Surface développable dont ta courbe gauche du troisième ordre est l'arête de 

 rebroussement. — Plans osculateurs à la courbe en divers points. 



» 58. Par une droite donnée, on peut mener quatre plans tangents à une 

 courbe gauche du troisième ordre. 



» 39. La surface développable formée par les tangentes à une courbe gauche 

 du troisième ordre est du quatrième ordre. 



» 40. Par un point donné, on ne peut mener que trois plans tangents à cette 

 surface. : 



» En d'autres termes : Par un point donné, on ne peut mener que trois plans 

 osculateurs à la courbe gauche du troisième ordre. 



» 41 . Les points de contact de ces trois plans osculateurs avec la courbe sont 

 dans un plan passant par le point donné. , ^„^,,,„, 



» 42. Il résulte de là que : Connaissant les plans osculateurs en trois points 

 de la courbe, on construit immédiatement le plan osculateur en un quatrième 

 point quelconque. 



» 43. On conclut encore du théorème précédent cette propriété remar- 

 quable : Amr»(^^ ;nlriMy> «a ?.s»t.ï\ ■«•titaUv\Mr»?.fy ?4\^\ct •i'i\t\Mr\ i^ïno^ 



» Toute courbe gauche du troisième ordre peut prendre un mouvement infini- 

 ment petit dans lequel tous ses points se dirigent suivant les normales aux plans 

 osculateurs en ces points (i). 



» 44. La développable formée par les tangentes à une courbe gauche du 

 troisième ordre a pour trace sur un plan quelconque une courbe du quatrième 

 ordre ayant trois points de rebroussement, lesquels sont les points d'intersection 

 de la courbe gauche par le plan. 



» 45. Quand le plan est tangent à la courbe proposée, la trace de la déve- 

 loppable sur ce plan est du troisième ordre et a un point double. 



» 46. Si le plan est osculateur à la courbe, et, par conséquent, tangent à la 

 développable, il coupe cette surface suivant une conique. 



» 47. Si par un point on mène des droites parallèles aux tangentes à une 

 combe gauche du troisième ordre, ces droites forment un cône du quatrième 

 ordre qui a trois arêtes de rebroussement. 



(i) On sait qu'une certaine courbe gauche du troisième ordre jouit de cette autre propriété, 

 qu'elle peut prendre un mouvement infiniment petit dans lequel tous les points se dirigent vers 

 un même point dé l'espace, suivant les arêtes d'un cône du second ordre. ( y mr Comptes rendus 

 tome XVI, page i^i^, année i843.) 



