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IX. Surfaces réglées passant par une courbe gauche du troisième ordre. 





Si une droite qui s'appuie en deux points sur une courbe ijauche du 

 tmisième ordre est rareté commune à deux faisceaux de plans homograpfiiques , 

 les cordes interceptées dans la courbe entre les couples de plans homologues des 

 deux faisceaux , formeront une surface du quatrième ordre. 



» Ainsi, par exemple, si les cordes sont interceptées entre leS côtés d'un 

 imgle dièdre de grandeur constante, tournant autour de son arête fixe qui 

 s'appuie en deux points de la courbe, ces cordes forment une suif ace du qua- 

 trième ordre. 



» Observation. — Par chaque point de la courbe gauche proposée pas- 

 sent deux génératrices de la surface, de sorte que celte courbe est une ligne 

 de striction de la surface réglée du quatrième ordre. 



>> Si les deux faisceaux homographiques sont en involution, la surface 

 devient un hyperboloïde, comme il a été dit précédemment (21). 



» 06. Etant données une courbe gauche du troisième ordre et une droite fixe 

 dans l'espace , si, par chaque point de cette droite, on mène une autre droite qui 

 s appuie en deux points sur la courbe, le lieu de ces droites est une surface du 

 quatrième ordre. 



n En d'autres termes : 



» Si, autour d \me droite fixe, on fait tourner un plan qui rencontre une cowbe 

 gauche du troisième ordre en trois points, le lieu des droites qui joignent ces points 

 deux à deux est une surface du quatrième ordre. 



a 57. La surface réglée dont les généiatrices s'appuient chacune en un point 

 d'une courbe gauche du troisième ordre et sur deux droites situées d'une manière 

 quelconque dans l'espace, est du sixième ordre. 



n 58. Corollaires. — Si l'une des deux droites rencontre la courbe en un 

 point, la surface n'est que du cinquième ordre. 



B 59- Si les deux droites s'appuient chacune en un point sur la courbe, ou 

 bien si l'une s'appuie sur la courbe en deux points et que l'autre ait une position 

 quelconque dans l'espace, la surface n'est que du quatrième ordre. 



» 60. Si l'une des droites s'appuie en deux points sur la courbe ^ et l'autre en 

 un point seulement, la surface n'est plus que du troisième ordre. 



» Enfin, si les deux droites s'appuient chacune en deux points sur la courbe, 

 la surface devient un hyperboloïde à une nappe, comme il a été dit précédem- 

 ment (20). » 



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