( 3^1 ) 

 de toutes les ressources que peuvent offrir, dans leur état actuel, les théo- 

 ries de la pure géométrie. On lui saura gré d'avoir ouvert une voie encore 

 inexplorée, et qui ne peut manquer de donner lieu à d'autres recherches 

 et à des conséquences fécondes. 



» Nous allons essayer de faire connaître ce travail, du moins dans ses 

 parties principales. 



M Le nombre de points nécessaires pour déterminer une courbe de 



1 ordre m est, comme on sait, — ^ • 



» Par un point de moins on peut faire passer une infinité de courbes, 



et toutes ces courbes ont — ■ ' + i autres points communs ; en tout m^ 



points communs. Ce sont ces courbes qui forment xm faisceau d'ordre m. Ainsi 



il faut — i — I points pour déterminer un tel faisceau. 



» Deux faisceaux d'ordres « et n', respectivement, donnent lieu à la généra- 

 tion d'une courbe d'ordre (n ■+■ n'), comme nous l'avons dit ci-dessus. Réci- 

 proquement, une courbe quelconque d'ordre m peut être engendrée, d'une 

 infinité de manières, par deux faisceaux d'ordres n et «', la somme {n -f-n') 

 étant égale à m. Ce théorème peut se démontrer directement (i). Toutefois 

 M. de Jonquières, qui a en vue, non pas d'appliquer les deux faisceaux à 

 une courbe donnée dans toutes ses parties, mais au cas d'une courbe non 



(i) La proposition présente deux cas qui donnent lieu aux deux énoncés suivants : 



i". Étant pris sur une courbe A^ de l'ordre m, n} points formant la base d'un faisceau 

 de l'ordre n , toute courbe C, menée par ces n' points rencontre la courbe km en n [m — n ) 

 autres points ; 



Si ces points sont en nombre supérieur au nombre de points nécessaires pour déterminer 

 une courbe de l'ordre [m — n) , auquel cas m <^ 3 (n — i ), néanmoins ils seront situés tous 

 sur une telle courbe ; 



Cette courbe de l'ordre [va — n ) rencontrera la courbe A„en (m — n )' autres points , les- 

 quels seront la base d'un faisceau de l'ordre (m — n); 



Ces points seront toujours les mêmes , quelle que soit la courbe C„ menée par les n' points 

 de A„ ; conséquemment, toutes les courbes de l'ordre (m — n ) forment un faisceau ; 



Enfin , ces courbes correspondront anharmoniquement aux courbes de l'ordre n ; de sorte 

 qu'on aura deux faisceaux de courbes génératrices de la courbe Am- 



7.". Etant pris sur une courbe Am d'ordre m, n' points formant la base d'un faisceau de 

 l'ordre n , toute courbe C„ menée par ces n' points rencontre la courbe Am e/i n ( m — n ) autres 

 points ; 



Si ces points sont en nombre inférieur au nombre des points nécessaires pour déterminer 

 une courbe de l'ordre (m — n), auquel cas m^ 3(n — i), et que par ces n (m — n) points 



