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 tracée et dont on ne connaît que le nombre de points rjécessaires à sa déter- 

 mination, va droit au but, et se borne à faire remarquer que cette proposi- 

 tion sera une conséquence de la solution du problème dont il s'agit. 



» Abordant donc ce problème, il montre d'abord que les deux systèmes 

 de points nécessaires pour la détermination des deux faisceaux d'ordres n 



. n(n-+-3) . , n'(n'+3] , 



et n , savoir — ^ — i pouits pour le premier, et — ^ -' — i pour le 



1 . ■ « ... . j m(m + 3) . 

 deuxième , ne peuvent pas être pris exclusivement parmi les — ^ points 



donnés qui déterminent la courbe d'ordre m demandée. Cela est bien 

 simple, car si de ce nombre des points donnés on retranche les points né- 

 cessaires pour la détermination des deux faisceaux, il en reste [nn! + >.) 

 qui doivent servir à la description de la courbe. Or les bases des deux 

 faisceaux se trouvant déterminées, on ne peut plus employer que trois 

 points, qui serviront à faire correspondre trois courbes du premier faisceau 

 à trois courbes du second. Par conséquent, des [nn! -\- 2) points dont on 

 a à disposer, il en resterait nn' — i sans emploi, et par lesquels la courbe ne 

 passerait pas. 



» Une autre raison également simple, et qui montre qu'on ne peut pas 

 prendre exclusivement parmi les points donnés, même les seuls points né- 

 cessaires pour la détermination de la base d'un seul faisceau (excepté le 

 cas d'un faisceau de coniques), c'est que ces points étant pris en nombre 



— -— I pour le faisceau d'ordre ra, ce faisceau aura, en outre, 



"^ --^ I autres points à sa base, qui devraient donc se trouver sur la 



courbe cherchée; ce qui ne peut avoir lieu, en général, puisque ces points 



et — ; autres, pris arbitrairement sur la courbe A„ , on fasse passer une 



2 



(m — n) (m-i-n — 3) 

 courbe de l'ordre (m — n), cette courbe rencontrera la courbe A^ en 



(m— n)(m-+-n — 3) 

 autres points qui seront fixes, quelle quesoit la courbe C„; de sorte que ces 



et les ^ — — n j \ "i — « J ^^.^ arbitrairement, faisant ensemble (m — nf points , for- 



2 



ment la base d'un faisceau de l'ordre (m — n ) ; 



Enfin, ces courbes de l'ordre (m — n ) correspondent anharmnniquement aux courbes C„ du 



faisceau de l'ordre n ; de sorte qu'on aura deux faisceaux de courbes génératrices de la 



courbe A™. 



