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ne dépendent que de ^-^- — i des points donnés, et nullement des 



u , , «'(«'+3) 

 autres, en nombre nn -{ = ■ 



» Il est donc évident qu'on ne peut pas prendre exclusivement parmi les 



—^ points donnés les points nécessaires à la détermination des bases 



des deux faisceaux, ni même d'un seul faisceau (excepté le cas d'un fais- 

 ceau de coniques). Par conséquent, une partie de ces points nécessaires 

 seront des points étrangers aux données de la question, disons des points 

 inconnus et qu'il faudra trouver. Ce sera la détermination de ces points qui 

 constituera, dans chaque cas, les difficultés du problème. 



» Une première question essentielle se présente dès ce moment : Quel 

 sera le nombre de ces points inconnus qu'il faut faire entrer dans les bases 

 des deux faisceaux? M. de Jonquières démontre que ce nombre sera tou- 

 jours [fin' — i). 



» En effet le nombre total des points nécessaires pour former les deux 



faisceaux est ~- — ■ — - -\ — 2. Si (nn' — i) de ces points sont pris 



en dehors des points donnes en nombre — ^ ou ^ ■ -^ 



il y en aura de ceux-ci dans les bases des deux faisceaux 



— '-+ ^-^ ' - 2- (nn'-i); 



et le nombre des points restants sera 2 nn' -+■ 1 . 



» Voici quel sera l'emploi de ces anw' + 1 points qui restent libres. 



» Les courbes du premier faisceau menées par ces (2 //«' + i) points suc- 

 cessivement devront correspondre anharmoniquement aiix courbes du 

 second faisceau menées par ces mêmes points. Cette correspondance en- 

 traîne [inn' + i) — 3 équations de condition ou 2 {nn' — 1). Or la déter- 

 mination d'un point exige deux conditions; donc avec les 2(««' — 1) équa- 

 tions, on pourra déterminer {nn' — i) points. Ce seront les points inconnus 

 des deux faisceaux. Ainsi se trouve démontrée la possibilité, algébrique- 

 ment parlant, de déterminer {nn'— r) points des deux faisceaux; du moins on 

 voit, par cette sorte de mise en équation du problème, qu'il est déterminé. 



» Ces {nn' — 1) points pourront être répartis de différentes manières dans 

 les deux faisceaux, ce qui donnera lieu à des solutions différentes du pro- 

 blème appliqué à une même courbe. Toutefois on ne peut pas dire, sans 

 un examen spécial de la question, si tout mode de répartition sera toujours 



