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,. Génération de la courbe par un faisceau de courbes du troisième ordre et un faisceau 



de rayons. 



» Ici l'on n'a à introduire dans les bases des deux faisceaux que deux 

 points inconnus; ce qui donne lieu à deux systèmes de faisceaux. 



» Soient «, Z>, c, </, e, f, g, i, 2, 3, 4» 5, 6, 7, les quatorze points don- 

 nés et or, ^ les deux points inconnus. 



» Première manière. On formera les deux faisceaux 



[abcdefxjr) [i, 2, 3, 4, 5, 6, 7], 

 g [i, 2, 3, 4, 5, 6,7]. 



Ce qui indique que les huit points a, b, c, d, e,/, x, j^, déterminent la base 

 d'un faisceau de sept courbes du troisième ordre passant respectivement 

 par les sept points 1,2, 3,4,5, 6,7, et correspondant anharmoniquement 

 aux sept rayons menés du point g aux mêmes sept points i, 2, etc. 



» Ces courbes du troisième ordre passeront par un netivième point com- 

 mun, que l'on déterminera en même temps que les deux x, ^, au moyen 

 de deux courbes du troisième ordre. 



» Or, au rayon g i qui rencontre la courbe du quatrième ordre en deux 

 ])oints £, (f que l'on sait déterminer, correspond la courbe du troisième or- 

 dre déterminée par les neuf points a, b, c, d, e, f, i, £, (jj ; et de même au 

 rayon gi correspond une deuxième courbe du troisième ordre. Ces deux, 

 courbes ont six points communs a, b., c,d,e,f. On sait construire leurs 

 trois autres points d'intersection qui seront les trois points cherchés. 



» Ainsi le problème est résolu. 



» Deuxième manière. On formera les deux faisceaux 



{abcdefgx) [i, 2, 3, 4, 5, 6, 7], 

 j [i, 2, 3, 4, 5,6, 7]. 



Ce qui exprime que les sept courbes du troisième ordre dont la base est dé- 

 terminée par les huit points fl, by c, d, e,f, g, x, et qui passent respecti- 

 vement par les sept points 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, doivent correspondre anhar- 

 moniquement aux sept rayons menés du point inconnu j- aux sept mêmes 

 points I, 2, 3,..., 7. 



M Solution. Les segments que les sept courbes du troisième ordre forment 

 sur une droite fixe «Lmerlée arbitrairement par le pointa, correspondait 

 anharmoniquement à ces courbes, et par conséquent aux sept rayons / 1 , 

 y 2, etc. ; c'est d'après cette considération que l'on détermine tout à la fois 



