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 » des points d'intersection de deux courbes d'ordre n, elle passera par les 



-(art— m — r) (an — m — 2) points restants (*) ». 



» Cela posé, proposons - nous de déterminer sur une courbe donnée 

 d'ordre m, n' points formant la base dun faisceau d'ordre n quelconque; 

 la solution de cette question fera connaître le nombre de points que l'on 

 peut prendre arbitrairement sur la courbe proposée ; ce qui est l'objet d(^ 

 la présente communication. 



» La base d'un faisceau d'ordre n est déterminée par —^ — i points; 



c'est-à-dire que les — -+- 1 autres points qui complètent le nombre 



total n*, dépendent des premiers. Voici comment on détermine ces points 

 complémentaires, quand les premiers sont donnés. Appelons /ra', m", m", etc., 



ces ^-^- — I premiers points, et x' , j'; x'\ y"', etc., leurs coordonnées. 



Soit A-=o l'équation générale d'une courbe du n'^*"* ordre ; et supposons qu'on 

 ait déterminé tous les coefficients moins un de cette équation en assujettissant 



la courbe à passer par les — — i points m', m'\ ... ; l'équation A = o 



ne contiendra plus qu'un coefficient X et sera de la forme A, + X Aj = o ; A, 

 et A 2 étant des polynômes du degré n en a:, j^ dont les coefficients seront des 

 fonctions des coordonnées x', y, x" ,j'\ etc., des points 7?î', /ra", etc. Don- 

 nant à X deux valeurs quelconques, on aura les équations de deux courbes 

 passant par les «* points de la base du faisceau demandé. Conséquemment, 

 les points d'intersection de ces deux courbes seront les «* points de cette 



base, savoir les points supposés connus /»', m", etc. , et les —^^ -i- i points 



complémentaires qui se trouveront ainsi déterminés, leurs coordonnées 



(*) Cet énoncé n'est qu'un cas particulier du théorème démontré par M. Cayley, lequel 

 est relatif à trois courbes d'ordres respectifs différents, dont l'une passe par tous les points 

 d'intersection des deux autres. Voici ce théorème générai : Quand une courbe d'ordre r 

 (r n'étant pas plus petit que m ou n, ni plus grand que m -f- n — 3), passe par 



I mn (m-f-n — r — i)(m-(-n — r — 2) des points d'intersection de deux courbes 



d'ordres m et u respectivement , elle passe aussi par les -(m + n — r — i)(m-(-n — r — 2) 



autres points d'intersection (voir T/ic Cambridge mathematical Journal , vol. III, page 21 1; 

 année i843}. 



