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» De ce qui précède résulte donc ce théorème, que nous nous proposons 

 de démontrer : 



» Théorème. — Quand on veut déterminer sur une courbe donnée, d'ordre m, 

 n' points formant la base d'un faisceau d'ordre n < m, 



» iSi n > h I , on peut prendre arbitrairement sur la courbe 



^[(an-m)* + (3m-2)] 

 de ces n* points; 



» Et si ï\=: ou <_ — h I , le nombre des points qu'on peut prendre arbitrai- 

 rement est toujours ( 3 n — 2 ), quel que soit m dans la limite m = ou > an — i . 



» Par exemple, si l'on veut former la base d'un faisceau de courbes du 

 troisième ordre sur une courbe du quatrième ordre ou d'un ordre supé- 

 rieur, on ne pourra toujours prendre que sept points arbitrairement. 



» Mais pour former la base d'un faisceau du quatrième ordre, on pourra 

 prendre arbitrairement onze points sur une courbe du cinquième ordre, et 

 dix seulement sur toute courbe d'ordre supérieur. 



» Pour la base d'un faisceau du cinquième ordre, on prendra seize points 

 arbitraires sur une courbe du sixième ordre^ quatorze sur une courbe dn 

 septième ordre, et toujours treize sur une courbe d'ordre supérieur. 



» Pour la base d'un faisceau du sixième ordre, on prendra vingt-deux 

 points arbitraires sur une courbe du septième ordre, dix-neuf sur une 

 courbe du huitième ordre, dix-sept sur une courbe du neuvième ordre, et 

 toujours seize sur une courbe d'un ordre supérieur. 



» Etc. 



M Remarque. — Le nombre des points qu'on peut prendre arbitraire- 

 ment sur une courbe d'ordre m pour former les bases des deux faisceaux 

 générateurs d'ordre n el [m — n) respectivement, est égal à 



( 2 « — w )' -t- 3 /» — 2 



ce qui résulte du beau théorème donné à ce sujet par M. de Jonquières 

 dans le Ménïoire dont il a été rendu compte récemment à l'Académie {*). 



» Or, d'après ce qui vient d'être démontré, ce nombre est précisément 

 égal à celui des points qu'on peut prendre arbitrairement pour former la 



base du faisceau d'ordre n quand « > — h i. 



(*) Voir Comptes rendus, t. XLV, p. 3i8 (séance du 7 septembre 1857] 



