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 Pour m = o, on a 

 logF,„(a:) = logFo(x) = log2 + log3+log4 + log5 +...= logr(a?-f-i). 



D'ailleurs dans ces trois expressions, m peut recevoir une valeur entière 

 quelconque, positive ou négative. 



» Cela posé, j'établis une relation entre logF,,, et logF„+,, qui dans le 

 cas de m^o permet d'exprimer logF,„+, en fonction de logF,„. 



» Voici cette relation : 



a:logF„(a') = logF,„^,(x) + logF„(x - i) + . . . -f- logF„(2). 



Elle a lieu, quel que soit m, pourvu qu'il soit entier; seulement, dans le 

 cas où m < o, on ne peut facilement dégager l'inconnue, qui se trouve 

 figurer un grand nombre de fois dans les deux membres. 



» Je m'occupe ensuite de trouver le terme de plus haut ordre de la fonc- 

 tion logF^n réduite en série. 



» On sait déjà que 



i" terme de logFo(x)= i" terme de logr(x + i) = j? logj?, 



et l'on trouve, en général, que 



i" terme de logF„ {x). = ^-^ log a:, 



pour m>o. 



» Si m est négatif, je cherche directement la valeur de logF„(j:) et 

 je trouve, pour m = — f, 



logF..(:r)=.l^, 



et, pour m < — i , 



logFmC-^") — constante. 



» Passant à l'étude de la fonction \og(p,„{x), je trouve, entre cette fonc- 

 tion et la fonction log"'F,„(a:) la relation très-remarquable qui suit: 



logF„ (^)= log (p,„ (x) + s.'" log Ç5,„ Q -f- 3'" log <p„ (^^) + 4" log ?,„ ( J) + . . .. 



Il ne faut pas oublier que log(p,„(.r) est une fonction de fonction de nom- 

 bres premiers, et il est digne d'attention que, dans la formule que nous 

 venons d'écrire, les nombres premiers ne figurent pas explicitement. 

 » Si l'on fait m = o, on trouve 



logFo(a?) = logyo(^) + logço (f) + H?o (^) + log9o (!) + •• • V 

 formule qui a déjà été donnée par M. ïchebichef et par moi. 



