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 servent à exprimer log(j5m{jc) en fonction de logFm et logjXm(jr) en fonc- 

 tion de log ç,„ ; ce sont les formules inverses de celles que nous avons déjà 

 données. On trouve facilement 



log^„(x) = logF„(^)-a'"logF,„(f)-3'»logF„(f) - 5-logF,,, (î) -,. 



4-(..3riogF,„(^) + (2.5riogF„(^ 



-(a.3.5/"logF,„(^-;-5 



ifi 



> [H.tiH- 



et 



log/x„(jc) = log(p„(.r) - a^logçj^ [x') - S"" log (pï,„ (x') 

 - 5'"log95„(x') ... 

 + (a.3riog9(,..,„(a''^)-h... 



Ces formules ont deux inconvénients : i° les nombres premiers figurent 

 d'une façon explicite; 2° si, dans la première équation, on ne prend qu'un 

 nombre fini et constant de log F,„, pour exprimer approximativement 

 log 9m (a?), le degré du second membre de l'inégalité sera généralement 



.r"+' 



-\ogx, tandis que le degré du premier membre sera 



Il sen- 



suit que l'approximation sera généralement insuffisante. 



» Cependant pour prouver qu'entre <z et a'' il y a toujours un nombre 

 premier, on peut se servir, sans préparation, des inégalités déduites des 

 deux égalités 



log?o(^) = logFo(x)-logFo(^]-logFo(|) ,.. + logF„(g) 4- ..., 



log|Xu(jr)= \o§(po{x) —lo§(po(x')-log(po\x')...-hlogfo(jc') + ..., 



comme nous l'avons déjà fait voir dans un Mémoire inséré au XIX* volume 

 du Journal de Mathématiques pures et appliquées. 



» Mais si on veut démontrer qu'entre « et 2 a il y a toujours un nombre 

 premier, l'approximation ne suffit plus et il faut modifier le second membre 

 de manière que le terme en xlogx soit nul; on trouvera alors pour 



