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on a 



Il > , ' ' 



j _f- -)- _i_ 



P1.+1 P»+. + «i + ' P„+,+ ai-Ha,-l-2 P«+i4-a, -H «, + «3+3, 



= alogx +j. 

 y étant une série d'ordre inférieur à logx; mais 



donc les deux séries ci-dessus sont de même ordre. C'est là un fait remar- 

 quable dont on peut tirer plusieurs conséquences, en se rappelant que la 

 somme des termes d'une suite diatomique est égale à 



fx(P„) - (a - 0(3 - I) (5 - ,)(7 - !)(,, - ,).... 



» Mais tous ces résultats sont susceptibles d'une extrême généralisation, et 

 telle est la fécondité de ces principes nouveaux, qu'on peut en tirer, pour ainsi 

 dire, un nombre indéfini de conséquences et de théorèmes inabordables par 

 les méthodes ordinaires. 



» Signalons, en terminant cette digression, le théorème suivant : On peut, 

 en s'appuyant sur ce que 



!^ + l^Sj + !^+...= loga. + s 



(théorème que nous avons démontré par des considérations purement élé- 

 mentaires et sans nous servir de la formule de Stirling), faire voir que le 

 premier terme de logFo(a-) est xXo^x. Nous ne pouvons ici qu'indiquer 

 . la marche : on sait qu'on a 



logF,(^)=[E(f) + E(|)-^E(^)+...]log. 



+ [E(i) + E(^^) + ...]log5-i-... 

 -+- 



logFo(x) = 2[l«g/'2E(^)]' 



E [jr) désignant l'entier de jy. 

 » Or on trouve de suite 



M?)>XfS)-X^'^ 



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