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MÉMOIRES PRÉSENTÉS. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. —Sur un théorème de Jacobi relatif à rintéçjrntiou 

 . des équations aux différences partielles du premier ordre; par M. Ossian 

 Bonnet. 



(Commissaires, MM. Chasles, Bertrand, Hermite.) 



« M. Bertrand, dans ses leçons au Collège de France, a signalé cette 

 année une lacune que présente la méthode dont Jacobi se sert pour 

 intégrer les équations aux différences partielles du premier ordre. Sans rap- 

 peler ici cette méthode que tous les géomètres connaissent, écrivons immé- 

 diatement l'équation ( uo/ez Journal de M. Liouville, tome III, page 176) 



r{a: — {p,<ijc,-{-p2d.T2-h... + PndT„)= — M{p1fl.x*l-{-p'^dxl+...-hp„ dx^,), 



sur laquelle repose la démonstration du théorème fondamental. Jacobi 

 conclut de cette équation et de ce que c^x", c/j:^,..., rfj:° sont nuls que 

 dx — [p, d.Xt ■+■ p^dx^ -+■... + p„ dx„) est aussi nul. Or cela n'est permis 

 évidemment qu'après avoir fait voir que M ne peut pas devenir infini. 



» Je vais donner, pour le cas de trois variables, une démonstration géo- 

 métrique qui me paraît à l'abri de toute objection. 



» Soit 

 (i) J{.r,j,z,p,rj) = o 



nne équation aux différences partielles du premier ordre qu'il s'agit d'in- 

 tégrer. Fixons d'abord le sens de quelques dénominations. 



» Surface intégrale. Nous regarderons .r, j, z comme des coordonnées, 

 rectangulaires. Cela posé, toute intégrale de l'équation (i) représentera 

 une surface à laquelle nous donnerons le nom de surface intégrale. 



» Cône enveloppé. Considérons, dans l'équation {\).,x,j, z comme les 

 coordonnées d'un point déterminé, et p et q comme les dérivées partielles 

 d'une fonction Z de deux variables X et Y. X, Y, Z étant les coordonnées 

 courantes, l'équation (i) représentera une infinité de surfaces dévelop- 

 pables, et en particulier un cône ayant le point x, j, z pour sommet. Nous 

 appellerons ce cône le cône enveloppé pour le point x, j, z. Il est mani- 

 feste qu'à chaque point .r, j, z de l'espace, répond un et un seul cône 



enveloppé, et que son équation résulte de l'élimination de p, q, -^ entre 

 \/(,r,j,z,^,r/)^0, 1 + 11=. o, 



l^,-_-^pi^X-x) + q{Y-j), X~x + |(Y-j)-o. 



