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 et, à cause de l'équation (6), 

 ifs dp _ d<l . 



dx dz dy dz 



telle est la quatrième équation cherchée. Si maintenant on intègre (a), (3), 

 (4) en se servant d'ailleurs de(i), on obtiendra quatre relations entre x, 

 y, z, p, q et trois constantes arbitraires a, j3, y, puis éliminant p et q, on 

 aura les deux équations 



{b) f{x,j,z,a,^,y)=o, 9, (ar, j, z, a, /3, 7) = o 



d'une infinité de courbes parmi lesquelles se trouveront comprises les ca- 

 ractéristiques de toutes les surfaces intégrales. 



» Nous appellerons, pour abréger, courbes c les courbes représentées par 

 les deux équations [b). Une première observation à faire, c'est que toute 

 surface formée avec les courbes c, n'est pas une surface intégrale. On 

 reconnaît en effet que la condition suivante doit être satisfaite. Soit S une 

 surface formée avec les courbes c,, Cj, C3,..., qui ont été choisies au hasard 

 parmi les courbes c. Prenons un point quelconque m sur Cp, et par ce 

 point menons la tangente mt, cette tangente sera une génératrice du cône 

 enveloppé, d'après l'équation (3). Menons au cône enveloppé le plan P tan • 

 gent suivant rnt. Si l'on fait mouvoir m sur Cp, le plan P se mouvra et enve- 

 loppera une surface développable que j'appelle 2^. Cela posé, pour que S 

 soit une surface intégrale, il faut et il suffit que S soit l'enveloppe des sur- 

 faces dé veloppables 2,, 22, 2,,..., construites avecc,, Cj, c,,..., comme 2^ 

 l'a été avec Cp; en d'autres termes, il faut et il suffit qu'en supposant les 

 courbes c,, Cj, C3,..., infiniment voisines, l'intersection de 2^ et de lp+,. 

 soit Cp ou Cp+, . 



» Le théorème de Jacobi consiste en ce que S est une surface intégrale, 

 lorsque les courbes c,, Cj , c^,..., partent d'un même point; il nous suffira 

 donc, pour établir ce théorème, de faire voir que si Cp et Cp+, ont un point 

 commun, Cp+, se trouve tout entière sur Ip. Pour cela, énonçons d'abord 

 la propriété caractéristique des courbes c. Or l'une quelconque Cp de ces 

 courbes, i°a pour tangente en chaque point une génératrice du cône en- 

 veloppé relatif à ce point : c'est ce qui résulte de l'équation (3); 2° est telle 

 que la surface développable Ip qu'on en déduit comme il a été dit plus haut, 

 a chacune de ses génératrices tangente à la courbe, lieu des sommets des 

 cônes enveloppés qui admettent comme plan tangent le plan tangent à la 

 surface développable suivant la génératrice considérée : c'est ce qui résulte 



