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 de l'équation (4). Reprenonsmaintenant les courbes Cp, Cp+, et la surface 2^, 

 regardons d'ailleurs Cp+, comme déduite de Cp en faisant varier les para- 

 mètres a, p, 7 de quantités infiniment petites du premier ordre. J'abaisse 

 des différents points de Cp+, des normales sur 2p. Soit n?i, l'une de ces nor- 

 males, n étant son point situé sur Cp+, et n, son pied ; je mène par «, la gé- 

 nératrice rectiligne gn, m de la surface Ip, et je suppose qwe cette droite 

 rencontre Cp en m; je trace la courbe mn^ a lieu des sommets des cônes en- 

 veloppés qui admettent comme plan tangent le plan tangent à 2p suivant 

 ing, je mène la normale n, Uj à cette courbe, enfin je joins n«j Si nn, est 

 infiniment petit du second ordre, comme n, n^ l'est aussi, il s'ensuivra que 

 nti^ sera du second ordre. De là on verra aisément que la tangente à Cp+, 

 au point n fait un angle infiniment petit du second ordre avec le plan tan- 

 gent à Ip suivant mg : il suffit de se rappeler que la tangente à Cp+, est une 

 génératrice du cône enveloppé relatif au point n et que le plan tangent à 

 2p est tangent au cône enveloppé relatif à n^. Or, en négligeant les infini- 

 ment petits du troisième ordre, l'angle que la tangente à Cp^^ au point n 

 fait avec le plan tangent à Ip suivant mg, n'est autre que la dérivée de la 

 distance «n, de Cp+, à 2p prise par rapport à l'arc de Cp+, . En effet, on a ce 

 théorème général très-facile à démontrer : Etant données une courbecetune 

 surface développable 2, la dérivée de la distance des points de cà 2 par rap- 

 port à l'arc de c n'est autre que le cosinus de l'angle que la tangente à c fait 

 avec la normale à 2 qui mesure la distance considérée. Ainsi quand la distance 

 iiTit d'un point n de Cp^^ à Ip est infiniment petite du second ordre, on peut 

 conclure que la dérivée de cette distance par rapport à l'arc de Cp+^ est 

 aussi du second ordre. Je dis qu'il résulte de là que si un point de Cp+, est à 

 une distance infiniment petite du second ordre de 2p, il en sera de même 

 de tous les points de Cp+,, ce qui démontrera le théorème de Jacobi. 

 ■ ' » Considérons la surface gauche, lieu des normales menées des différents 

 points de fp+, à 2^, surface que j'appelle c. Sur <y et en partant du point n 

 de Cp+i qui est à une distance du second ordre de 2^, je trace un arc de 

 courbe na de longueur / et qui coupe toutes les génératrices de a sous un 

 angle égal à celui que la tangente à Cp+^ au point n fait avec 'la génératrice 

 passant au même point; puis, à partir du point a et toujours sur la surface 

 a, un second arc ab de longueur / et coupant toutes les génératrices de a 

 sous un angle égal à celui que la génératrice du cône enveloppé relatif à a, 

 qui est située dans le plan tangent à a, forme avec la génératrice de c; 

 puis, à partir du point A et toujours sur la surface a, un troisième arc bc 

 de longueur / et coupant toutes les génératrices de a sous un angle égal à 



