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 celui que la génératrice du cône enveloppé relatif à i, qui est située dans 

 le plan tangent à <7, forme avec la génératrice de c, et ainsi de suite. Il est 

 clair que le polygone nabc, etc., tendra vers Cp+, lorsque / décroîtra indé- 

 finiment. Or tous les points de ce polygone sont à des distances du second 

 ordre de 2^, quel que soit /, d'après ce qui a été dit plus haut : donc tous les 

 points de Cp+, sont aussi à des distances du second ordre. 



« Le théorème de Jacobi étant démontré, on en déduit, comme on sait, 

 une intégrale complète, puis l'intégrale générale. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la résolution des équations numériques ; 



■ . par M. Ath. Dupré. (Extrait par l'auteur.) 



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î" f^ (Commissaires, MM. Liouville, Bertrand, Hermite.) 



■'. ■liT.ini I.' 

 « La méthode de Budan pour la résolution des équations numériques 



offi'C, comme plusieurs autres, l'inconvénient très-grave de n'être sûre que 

 dans le cas où les racines sont toutes réelles ; celle que M. Vincent a expo- 

 sée en la perfectionnant d'une manière très-remarqnable, laisse craindre un 

 nombre indéfini d'opérations, puisqu'il fait voir seulement que tôt ou tard 

 les transformées manqueront de variations ou en présenteront une seule ; 

 ce qui met fin à la recherche. Dans le Mémoire que j'ai l'honneur de sou- 

 mettre aujourd'hui au jugement de l'Académie, je me suis proposé pour 

 but de donner à la méthode de Budan la rigueur qui lui manque, et d'as- 

 signer une limite que ne peut dépasser le nombre des opérations à faire en 

 suivant la marche conseillée par M. Vincent. J'ai en outre suivi ce dernier 

 dans l'examen de ce qui arrive -quand les équations n'ont pas été débarras- 

 sées préalablement des racines égales, et je crois avoir réussi à atteindre 

 sur ce point de théorie une certitude complète. iJcJcJmo, ,( -j;%i) j'-I' 



» Pour y parvenir, je rappelle d'abord que dans les équations à ra- 

 cines exclusivement réelles chaque coefficient surpasse la moyenne pro- 

 portionnelle entre les deux coefficients voisins ; puis, remarquant que dans 

 iin trinôme jj* -f- 2 ax + a} + |3^, correspondant à deux racines imagi- 

 naires conjuguées, cette propriété n'existe que si a est positif et supérieur à 



-7=5 je démontre que dans les équations à racines réelles négatives et à ra- 

 cines imaginaires présentant une partie réelle négative supérieure numéri- 

 quement au coefficient de s^— i divisé par \/3 ; cette propriété existe néces- 

 sairement aussi, mais que la présence d'une ou plusieurs racines positives 

 peut la faire disparaître. Dans ces sortes d'équations, l'introduction d'une 



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