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 racine positive ne peut amener qu'une variation, et par conséquent si le 

 nombre des variations est inférieur à 4> il indique exactement celui des ra- 

 cines positives. 



» J'établis ensuite un théorème utile pour le cas où la proposée n'est 

 point débarrassée de ses racines égales, et qui consiste en ce que dans 

 une équation où les racines imaginaires sont à partie réelle négative numérique- 

 ment supérieure au coefficient des]— \ divisé par \J 3 ^ les racines positives sont 

 en nombre précisément égal à celui des variations si tune des inégp.lités 



est satisfaite ; m désignant le degré de l'équation , s eti des limites supérieures 

 et inférieures des modules des racines négatives et imaginaires, S et I des 

 limites supérieures et inférieures des racines positives. 



» Puis je montre, après avoir exposé la méthode de Budan perfectionnée, 

 qu'elle conduit à des transformées rentrant dans cette classe, à séparer les 

 racines réelles, et à reconnaître la nature des racines imaginaires sans cal- 

 culs inutiles, presque toujours très-prouiptement, en tout cas après un 

 nombre d'opérations inférieur à une limite assignable d'avance. J'applique 

 aussi mes théorèmes à la méthode de M. Vincent, et je prouve que dans un 

 cas comme dans l'autre, si l'on appelle D* une limite inférieure des racines 

 tant positives que négatives de l'équation aux carrés des différences, les ra- 

 cines poursuivies se séparent, ou bien on reconnaît leur imaginante parla 

 disparition des variations dans tes transformées et sans qu'il y ait utilité à calcu- 

 ler D, avant que l'espace qui les renferme ait diminué jusqu'à —7- ? et en 



général sans que l'on ait besoin d'approcher beaucoup de cette limite ex- 

 trême déjà très-acceptable. 



» La seconde partie est consacrée à l'exposition d'une méthode plus 

 avantageuse que l'approximation newtonienne pour approcher rapidement 

 des racines après la séparation. 



j> La troisième partie est relative aux équations non débarrassées de 

 leurs racines égales. J'y démontre que l'on peut leur appliquer avec sûreté 

 les méthodes précédentes et parvenir à séparer les racines inégales, à re- 

 connaître la nature des racines imaginaires, enfin à déterminer les racines 

 égales et leur degré de multiplicité ; je crois du reste qu'il vaut mieux cher- 

 cher d'abord les racines égales, et regarde cette partie comme offrant seu- 

 lement luî grand intérêt théorique. 



» Dans la quatrième partie sont exposées les conditions sous lesquelles 



