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 entiers consécutifs, p — i, p, le produit 



p — m p + t — m n — m 



croit indéfiniment avec n. 



» i. Théorème I. m étant une quantité positive quelconque, on a 



, . ; ,„ m m [m — i) m {m — i) . . [m — n -f- i) 



^ ' I 1.2 1 . 3. . 3 ... « 



» Le reste de la série (A) est (*) 



„ m [m — !)...(/« — n) i 



..2. 3... («4-1) (1+9)"+'-" 



» Soit p le nombre entier immédiatement supérieur à m : on peut écrire 

 ?n [m — i) . . . [m — p -H i) p — m p + i — '" n — m 



~ 1.2...;^ P+l ' p + 2. '"'«-Hl (j -{_9)n+l-m' 



Des trois facteurs de R, le premier est constant, le deuxième a pour limite 

 zéro (Lemme III), le troisième ne surpasse pas l'unité; donc lim R = o. 

 » a. Théorème II. m étant une quantité positive quelconque, on a 



(B) o = I — - + '"("' — ^) _ -{- m{m — i). ..{m—n-+-i) _ 



La démonstration ne diffère pas de la précédente, pourvu que le reste soit 

 mis sous la forme 



K' = i '"{"i-i'l-'-jm-p+l) ^ p — m _ p+i-m _ _ _ u — m ^ ,^ _ gy«— i (**-)_ 

 1.2.../9 P-^' p + 'i « + i ^ ^ '^' 



» 6. Théorème III. m étant une quantité positive, moindre que l'unité, 

 on a 



\1 



1 2" 



(C) 



' m{m+ i]...{m + n — 1 



m m(m+i) ;« (/« 4-i)(/« + 2) 



I i — —^ h... 



I 1.2 1.2,6 



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(*) Cours d'Analyse de Sturm, publié par M. Prnuhet, page 100. 

 (**) Cours d'Analyse, page 102, 



