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 sions arithmétiques ayant même raison et ne différant que par leur premier 

 terme. En général nous considérerons ilif progressions arithmétiques, A: étant 

 la raison de la progression donnée et M le nombre de nombres premiers 

 avec k, et inférieurs à lui. La somme des logarithmes de tous les termes 

 d'une quelconque de ces progressions ayant même raison, sera égalée à 

 une somme de fonctions relatives aux nombres premiers des M différentes 

 formes qu'elles peuvent affecter par rapport à la raison k.... Ce groupe 

 d'égalité contiendra M caractéristiques de fonctions différentes et il se 

 composera de M égalités. Les caractéristiques seront les inconnues de la 

 question. Nous ne ferons ici qu'énoncer sommairement les résultats que 

 nous obtenons. 



» Nous désignerons généralement par \o^Q^,,) [x) le logarithme du pro- 

 duit de tous les nombres premiers de la forme km-h g et plus petits que x, 

 k étant la raison de la progression et g son premier terme. • 



» hog(p^^) [x) est une série nettement définie suivant les valeurs de h 

 et de g, et qui aura toujours le même premier terme que log^f^, [x)... ; 

 en d'autres termes, logip(j, (x) sera toujours de même ordre que 



» Les fonctions cp sont ce que nous appelons les caractéristiques relatives 

 aux nombres premiers de toutes les formes possibles, suivant la raison. 



» Ces fonctions servent d'intermédiaire entre la somme des logarithmes 

 de tous les nombres d'une progression arithmétique dont le terme général 

 est 



km -h g, 



et les sommes des logarithmes de tous les nombres premiers des diverses 

 formes par rapport k k. 



"» En effet, il y a des relations très-simples entre V log(Avn-t- g) et les 



fonctions logÇ(t,^(x), \og(p^^^^{x), logÇ(A,^„(d?),..., g, g' et g" étant des 

 nombres entiers premiers-et-inférieurs à k. 



« Supposons, pour fixer les idées, qu'on donne à A: la valeur lo; alors 

 on peut considérer les quatre sommes 



2, ^og{iom-{-i), y)log(ioTO + 3), 



2)„log(iom + 7), ^Jog{iom-hg), 



«t chacune de ces sommes peut être égalée à une séiie où il n'entre que les 



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