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» Si K, au lien d'être égal à lo, est égal à un nombre pair quelconque, 

 j'aurai à considérer M égalités, M étant le nombre des nombres premiers et 



inférieurs à K Il entrera dans ces équations M caractéristiques qui s'y 



présenteront d'une manière tout à fait semblable à celle que nous avons 

 vue quand on faisait K = lo. 



» Dans le cas général, on aura 



où m reçoit toutes les valeurs positives et entières, et r toutes les valein-s 

 premières-et-inférieures à R : <^(r) désigne d'ailleurs un nombre infériem* 

 à K, tel que 



r . c ( r) ^ g,- (mod K). 



Il est clair que l'équation [a] en contient M, car g, peut recevoir M valeurs. 



» Telles sont les formules très-générales qui nous serviront de base 

 pour nos recherches ultérieures sur les nombres premiers de diverses 

 formes. 



» Nous nous occuperons d'abord du degré des fonctions y, et l'on con- 

 çoit l'intérêt de cette recherche; car dire, par exemple, que le degré de 

 logf (*) {x) est supérieur à une constante, c'est dire qu'il y a une infinité 

 de nombres premiers de la forme 



mk-\- g. 



» Les résultats que nous avons obtenus dans le présent Mémoire sont 

 encore susceptibles de généralisation, car, au lieu de considérer le produit 

 de tous les termes d'une progression arithmétique, nous pouvons considé- 

 rer le produit de tous ces termes élevés à de certaines puissances dépendant 

 de leur rang. Nous comparerons ce produit à des produits analogues, mais 

 où tous les facteurs seront des nombres premiers élevés à certaines puis- 

 sances. Nous aurons ainsi de nouveaux théorèmes qui comprendront ceux 

 que nous avons déjà démontrés. 



» C'est ainsi que, remontant toujours d'un cas particulier à un cas 

 plus général, on arrive, par une analyse lente, mais sûre, à étabUr, 

 sur cette théorie si obscure des nombres premiers, certaines vérités qui, 

 cherchées directement, eussent paru inabordables. On remarquera encore 

 que les résultats auxquels nous parvenons découlent des notions les plus 

 élémentaires; que notre procédé consiste à considérer, au lieu des nombres 

 premiers eux-mêmes, des fonctions où ces nombres premiers entrent symé- 



