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correspondantes est une courbe d'ordre (re-t- «'), qui passe par les («' -f- h'^ ) 

 points formant les bases des deux faisceaux (*). 



« Les mêmes considérations s'appliquent à deux faisceaux de surfaces 

 d'ordres ti et n' respectivement, qui se correspondent deux à deux anharmo- 

 niquement[**). Le lieu des courbes d'intersection des surfaces correspon- 

 dantes est une surface d'ordre («4- ri'), laquelle passe par les deux covirbes 

 à double courbure qui forment les bases des deux faisceaux. 



» Nous ne nous proposons pas d'entrer ici dans les développements que 

 ce sujet comporte, mais seulement de démontrer deux propositions qui se 

 correspondent dans les courbes et les surfaces, et paraissent n'être pas dé- 

 pourvues d'intérêt. 



» Théorème I. Élanc pris sur une courbe A,„, d'ordre m, n* points formant 

 la base d'un faisceau de courbes d'ordre n < m, toute courbe C„ menée par ces 

 n'^ points rencontre la courbe A.„ en n(m — *n) autres points qui donnent lieu 

 fiux propriétés suivantes : 



Si m — n<n ( o« n > — j , les n (m — n) points, quoique en nombre 



» r 



(') La démonstration de ce théorème, donnée pour le cas de deux faisceaux de coniques 

 (voir Comptes rendus, t»me XXXVII, page 2'j2, séance du 16 août i853), s'applique 

 <l'elle-même, comme nous l'avons dit alors, au cas de deux faisceaux de courbes d'ordres 

 quelconques. 



(**) On peut prendre pour rapport anharinonique de quatre surfaces d'un faisceau celui 

 (les plans tangents aux surfaces menés en un même point quelconque de leur courbe d'in- 

 tersection , lesquels plans passent par une même droite, la tangente à cette courbe. 



Autrement, si l'on conçoit les plans harmoniques d'un point fixe relatifs aux surfaces du 

 faisceau, tous ces plans passent par une même droite, et le rapport anharmonique de quatre 

 plans, lequel a toujours la même valeur, quel que soit le point fixe, peut être pris pour 

 celui des quatre surfaces auxquelles ces plans se rapportent. 



Enfin , si les surfaces sont représentées par l'équation générale 



A„-f-;B„ = o, 



dans laquelle >. prend des valeurs différentes, le rapport anharmonique de quatre surfaces 

 sera égal à celui de quatre points qui auraient pour abscisses, sur une droite fixe, les coef- 

 ficients X, et ce rapport anharmonique a pour expression 



X — r , y — y 

 i_r ■ V — x"' 



Ces différentes manières d'exprimer le rapport anharmonique de quatre surfaces d'un 

 faisceau se présentent naturellement comme application du Principe de correspondance anhar- 

 monique (voir Comptes rendus, tome XLI, séance du 24 novembre i855). 



