( ioG3 ) 

 supérieur ( hormis le cas de m = 3 et n = a ) au nombre de points qui suf- 

 fisent pour déterminer une courbe d'ordre (m — n) (*), sont toujours sur uiie 

 courbe de cet ordre ; 



» El cette courbe rencontre la courbe A,„ et (m — n)'' autres points qui 

 sont fixes, quelle que soit la courbe d'ordre n menée par les n* points de A,„ ; de 

 sorte que ces (m — n)* points seront la base d'un faisceau d'ordre (m — n). 



o 2°. Si m — n = OM >• n ( ou n = ou < — ) , par les n (m — n ) 



.,,,.. ,• j A n t (m — 2n-t-i)(ni — 21) -H 2) 

 points a mtersectton de A,„ par L.„ et — ■' autres points 



de km pris arbitrairement, en tout -^ '- -+- ^ ) l'" ~ ^l 



• 22 



points, on peut toujours faire passer une courbe d'ordre (m — n); 



„ • (m — 2n -f- 1) (m — 2n 4- 2) . t-, • ^ » 



» Et SI ces — • points, pris arbitrairement sur A,„, 



restent fixes, quelle que soit la courbe C„ menée par les n* points de A,„, toutes 



les courbes d'ordre (m — n) menées, comme il est dit, par ces points fixes, ren- 



. \ I L k X r \2 fm — 2n +1) (m — an -H 2)"] 

 contrent la courbe A„ en (m — n)-' — ^ — ■ autres 



points qui sont fixes aussi, et qui, avec les premiers pris arbitrairement , for- 

 ment la base d'un faisceau d'ordre (m — n). 



(*) Quand n = 2 et par suite « = 3, n[m — n)=3, est égal au nombre de points qui 

 détermine la ligne d'ordre m — n, c'est-à-dire une droite. 



Mais quand n^2, n[m — n) est toujours supérieur au nombre de points qui déter- 

 mine une courbe d'ordre {m — n), c'est-à-dire que l'on a 



(m — n) (m — n-hS) 



n> 



m ■ 



3»> /n -f- 3. 



En effet, «est ^ — par hypothèse, ou 3« ^ m -f- «. 



Ainsi 'Sn = m->rn-'!-i, i étant un nombre entier ^ o. 

 L'inégalité qu'il faut démontrer devient donc 



m-i-«-i-'^'n-t-3 ou «-1-/^3; 



ce quia toujours lieu, puisque n^a et 1^0. 

 Donc, etc. 



l4o.. 



