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» 3°. Dans les deux cas énoncés, les courbes d'ordre (m — n) et les courbes 

 C„ se correspondent anharmoniquement et forment ainsi deux faisceaux géné- 

 rateurs de la courbe A,„ (*). 



» Démonstration. La courbe A^ passant par les n^ points d'intersection 

 des deux courbes d'ordre n, C„ et C'„, a son équation nécessairement d'e la 

 tonne . 



A„ = C„ L,„_„ + C„ i ■>,„-„ = o, 



L,n-y! et L'^n étant des polynômes en a: et j- du degré [m — n). 

 » On satisfait à cette équation en posant les deux 



C„ = o, L,„_„ = o. 



De sorte que la seconde, L,„_„ = o, est l'équation d'une courbe d'ordre 

 (m — n) qui passe par les n(m — n) points d'intersection de A^ par C„. 

 Pareillement les n{m — m) points d'intersection de A„ par C'„ sont sur une 

 courbe L',„_„=: o d'ordre (;?/ — n). Mais on satisfait à l'équation A,„ = o, 

 en faisant L„,_„ = o et L'„,_„ = o. «Ce qui montre que les deux courbes d'or- 

 dre {m — Ti) se coupent en [m — «)^ points situés sur la courbe A„; consé- 

 quemment ces points sont fixes, quelles que soient les courbés C„, C„ menées 

 par les n* points de A^. Ce qui démontre les deux parties du premier cas 

 de la proposition . 



» Pour le second cas, où m — n z= ou > n, on observera d'abord que 

 les 7i{m — n) points d'intersection de A;„ par C„ se trouvent, comme 

 dans le cas précédent, sur une courbe L„_„ d'ordre [m — n). Mais ici 

 [m — n) est > « ; par conséquent, de ces n{m — n) points situés sur C„, 



n{m — n) — — seulement sont indépendants; c'est-à-dire que 



toute courbe d'ordre {m — n) menée par n{m — n) — t"~ 'M"~ ^-J ^^^ 

 n{m — n) points passe par les autres (**). On pourra donc assujettir cette 



(*) Ce théorème comprend, sous un seul énoncé, les deux propositions qui se trouvent 

 dans une Note à la page 32 1 du présent volume (séance du 7 septembre 1857), et dont la 

 seconde donnait lieu à une rectification. 



( *) «Le plus grand nombre de points pris arbitrairement sur une courbe d'ordre n, par 



» lesquels on peut mener une courbe d'ordre M > « est M/î — ^ ~ —• » ( Jacobi , 



Journal de Mathématiques de Crelle, tome XV, page 292.) Il résulte de là qu'aucun des 

 autres points d'intersection des deux courbes n'est arbitraire. Par conséquent, toute courbe 



