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, , (m 2/2 4- i) (»J — 2/? + 2) . . . , . 1.^ . 



courbe à passer par — autres points pris arbitraire- 

 ment (*). 



» Supposons que ces points soient pris sur la courbe A,„, et appelons 

 K,„_„ la courbe d'ordre (m — «) menée par ces points. L'équation de la 

 courbe A„ sera nécessairement de la forme 



Am = C„ Ll,_„ + C',. K,„_„ = o ; 



car la courbe représentée par cette équation passe par les /i* points d'inter- 

 section des deux courbes C„, C'„, et parles n{m — n) points d'intersection 

 des deux courbes C„ et Rm-n- t)r on satisfait à l'équation en posant, soii 

 L'„_„ = o et C'„= o, soit L',„_„ = o et K,„_„ = o. Donc Ij'„_„ représente une 

 courbe d'ordre m — n qui passe par les (/n — ny points, autres que les 

 n(m — n) premiers, dans lesquels la courbe K„_„ rencontre la courbe A,„. 

 Ce qui démontre les deux parties du second cas de la proposition. 



■ Pour démontrer enfin que dans les deux cas les courbes d'ordre [m — n) 

 correspondent anharmoniquement aux courbes C„, et qu'ainsi l'on a deux 

 faisceaux générateurs de la courbe A,„, il suffit d'observer que, dans les 

 deux cas, l'équation de la courbe A,„ est de la forme 



Am ^ ^n !-'„,_„ + Cj„ lj,n_n = O ; 



L,„_„= O et L',„_„= o représentant, dans le premier cas, les courbes uniques 

 d'ordre m — n, qu'on peut mener par les points d'intersection de la courbe 

 A„, par les deux C„ et C'„, et dans le second cas, les courbes qu'on peut mener 



,,. . . (m — 2/2 + i)(/ra — 2n+2) 



par ces pomts d mtersection respectivement, et par ^ 



points fixes, pris arbitrairement sur la courbe A,„. 

 » Cela posé, écrivons l'équation sous la forme 



A,„ = C„ ( i;,„_„ + X L,„_„) + (C. - XC„) L„_>, = 0. 



L'équation C'„ — XC„ = o représente une courbe du faisceau d'ordre n, et 

 L'„_„ + XLm_„= o une courbe du faisceau d'ordre (m — n). Ces deux 



d'ordre M menée par M/z — ^ — des Un points d'intersection d'une courbe d'or- 

 dre n par une première courbe d'ordre M ^« passe par les — ^ autres points d'in- 

 tersection. 



,{*) Car n{m-n) 1 = ^ 1 



nombre de points nécessaires pour déterminer une courbe d'ordre [m — n). 



