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 courbes se correspondent anharmoniquement, puisque le coefficient X est 

 le même dans les deux équations. Or, elles se coupent en n{m — n) points 

 situés sur la courbe A,„. Donc elles forment deux faisceaux générateurs de 

 cette courbe. c. Q. F. D. 



» Donc, etc. 



» Théorème II. Quand il existe sur une surface A^, (Tordre m, une courbe 

 à double courbure d'ordre n*, formant la base d'un faisceau de surfaces d'ordre 

 n < m, ces surfaces,rencontrent la'surface A,„ suivant d'autres courbes d'ordre 

 n (m — n), lesquelles donnent lieu aux propriétés suivantes : 



» 1°. 5i m — n < n f ou n > — )> auquel cas on ne peut pas faire passer, 



en général, par une courbe à double courbure d'ordre n ( m — n ) une surface 

 d'ordre (m — n) [hormis le cas où n = 2 ef m = 3) (*), néanmoins chaque 

 courbe d'ordre n(m — n) sera située sur une surf ace d'ordre [m — n), et sur 

 une seule; 



» Et toutes ces surfaces d'ordre (m — n) passeront par une même courbe, 

 d'ordre (m — n)*, située sur la surface A,„, et formeront ainsi un faisceau 

 d'ordre (m — n). 



n 2.°. Quand m — n =^ ou >n(n= ou <—j) par chacune ctes courbes 



„ , / V , (m — 211 + i) (m — 2n + 2)(m — an -H 3) 

 a ordre n (m — n) et par — ^ -^ pomts pris 



arbitrairement au dehors de la courbe, on peut faire passer une surface d'ordre 



, . . . (m — 2n-f-i)(m — 2n + 2) (m — 211 + 3) 



(m — n); et si ces ^ — ^ — pomts sont pris sur 



la surface A,„ et sont fixes, toutes les surfaces d'ordre (m — n ) menées par ces 

 points passent par une même courbe, d'ordre (m — n)^, située sur la sur- 

 face A,„, et forment ainsi un faisceau de surfaces d'ordre (m — n). 



» 3°. Dans les deux cas du théorème, les surfaces d'ordre [m — n) et les 

 surfaces d'ordre n se correspondent anharmoniquement etforment deux faisceaux 

 générateurs de la surface A^. 



» Démonstration. La surface A„ passant par la courbe d'intersection de 

 deux surfaces d'ordre n, S„, S'„, a son équation de la forme 



A,„ = o„ L,„_„ -)- Î5„ Li,n^„ = o . 



{*) Car un plan transversalquelconque rencontre une courbe d'ordre n (/« — n) en n(m — n) 

 points' par lesquels on ne peut pas mener, en général, une courbe d'ordre (m — n), hormis 

 le cas de /i = 2 et « = 3, comme il a été démontré ci-dessus. 



