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On^satisfait à cette équation en posant 



S„ = o et L,„_„=: o. 



Il existe donc une surface L,„_„ d'ordre {m — n), qui passe par la courbe 

 d'ordre n (/« — n) provenant de l'intersection de A„ par S,, quoique 

 (m — n) soit < n, et alors il n'existe qu'une telle surface; car s'il en exis- 

 tait une seconde, leur courbe d'intersection serait d'ordre [m — n)*, moindre 

 que n{m — n) qui est l'ordre de la courbe par laquelle passent les deux 

 surfaces : résultat contradictoire. ^ • 



» Pareillement, la courbe d'ordre n(ra — n), provenant de l'intersec- 

 tion de A,„ par S'„, est sur une surface L'„_„ d'ordre {m — n). 



» Mais on satisfait encore à l'équation Aot= o, en posant 



Lm-« =0 et L'„_„ = o, 



• 



ce qui montre que les deux surfaces d'ordre [m — n) ont leur courbe d'in- 

 tersection, d'ordre {m — «)', située sur la surface Am- Donc toutes les sur- 

 faces d'ordre {m — n), correspondant à autant de surfaces S„, S'„, ... qu'on 

 voudra, passent par une courbe d'ordre (m — «)* située sur A„, et forment, 

 par conséquent, un faisceau d'ordre (m — n). Ce qui démontre les deux 

 parties du premier cas de la proposition. 



» Pour le second cas, où m — « = ou > n, observons d'abord que la 

 courbe d'ordre n [m — n), intersection de A^ par S„, se trouve nécessaire- 

 ment, comme dans le cas précédent, sur une surface L,„_„ d'ordre {m — n). 

 Mais ici, parce que m — « = ou > ra, on peut mener par la courbe d'ordre 

 n{m — n) une infinité de surfaces d'ordre (?« — n) dont chacune peut être 



. , (m — 2/1 +1) (m — 3n-(-2)(wj — 2/j -f- 3) 



assujettie a passer par ^ ^ — points pris ar- 

 bitrairement en dehors de la courbe (*). Supposons que ces points soient 



(*) « La courbe d'intersection de deux surfaces d'ordres « et M= ou >•« est détermi- 

 » née par 



(M-f-i)(M + 2)(M-4-3) (M — «-(-i)(M— /i-|-2){M— rt-f-3) 



g g ;• 



» de ses points. » ( Jacobi ; Journal de Mathématiques de Crelle ; tome XV, page 299.) 11 suit de 



là que toute autre surface d'ordre M, menée par ces points, passera par la courbé. Cette surface 



. ... , M— /»-(-i)(M — /i-|-2)(M — /Î-+-3) 

 pourra être assujettie a passer par ■ — ^-^ — —g — ■ autres points 



