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 pris sur la surface A,„, et appelons Rm-n ^^ surface d'ordre [m — n) menée 

 par ces points. L'équation de la surface A,„ sera nécessairement de la 

 forme 



A,„ = S„L',„_„ + S'„K,„_„ = o ; 



car la surface représentée par cette équation satisfait à ces deux conditions, 

 de passer par la courbe d'intersection des deux surfaces S„, S'„, et par la 

 courbe d'intersection de S„ et R,„_„. Or on satisfait à l'équation en posant 

 soit 



L',„_„ r= o et S^ = o, 



rfoit 



L'„,_„ = o et K,„_„ = o. 



Donc L'„_„ représente vuie surface d'ordre (m — n) qui passe par la courbe 

 d'ordre [m — «)*, autre que la courbe d'ordre n[m — n), suivant laque'^e 

 la surface Rm_n coupe la surface A„ ; ce qui démontre les deux parties du 

 second cas de la proposition. 



» Pour démontrer que dans les deux cas les surfaces d'ordre (m — n) 

 correspondent anharmoniquement aux surfaces S„, et que l'on a ainsi deux 

 faisceaux générateurs de la surface A^, il suffit d'observer que, dans les 

 deux cas, l'équation de la surface A,„ est 



et s'écrit sous la forme 



A„ = S„ (L„_„ -+- AL,„_„) + (S„ — '■S„)L„,_„ = o. 



L'équation S,, + XS„= o représente une surface du faisceau d'ordre n, 

 et L|„_„ + XL,„_„ = o une surface du faisceau d'ordre {m — n), et ces deux 

 surfaces se correspondent anharmoniquement, parce que le coefficient X 

 est le même dans les deux équations. Ces deux surfaces se coupent suivant 

 une courbe d'ordre n(m ~ n) située sur la surface A™; donc elles forment 

 deux faisceaux générateurs de cette surface : ce qu'il fallait démontrer. 

 Donc, etc. » 



• U-. • . ■ , r- (M -+-l)(]VH-2)(M + 3\ 



pris arbitrairenienl; puisque le tout fait -^ ■ f, — — '' ~ ' P»'"'*» nombre né- 

 cessaire pour déterminer une surface d'ordre M. 



