(5) 

 » Les valeurs de u,, «,,. .., u n satisferont, par suite, aux équations sui- 

 vantes : 



(3) 



m, -£ = — N, u, + (i,a)w 2 + (i,3)«3 + ... + {t,n)u„, 

 m 2 ~ = — N, « a + (2, i)u, ■+- + (a,n)« n , 



m„ -J 1 ' =-N„«„+ (n, i)«, + + {n,n— i)k„_,, 



qui ne diffèrent des équations (1) que par la suppression des termes tout 

 connus M,, . . ., M„. Or ces dernières quantités deviennent nulles en même 

 temps que les températures fixes données. Les valeurs de u t , « 2 , . . ., u„ 

 représentent donc les températures du système, dans l'hypothèse où l'en- 

 ceinte et les autres points invariables seraient à la température zéro, et 

 où les températures initiales du système seraient les valeurs initiales 

 de u { , u a , . . . , u„ ou de v { — w„ . . . , v n — w„, c'est-à-dire les excès des 

 températures initiales données sur celles de l'état d'équilibre. 



» Cette décomposition, connue depuis longtemps, ramène la question à 

 deux autres plus simples. 



» Mais on peut faire une infinité d'autres décompositions qui sont utiles 

 dans diverses circonstances. En se rappelant que les quantités M,, M a , . . . , 

 M„ se composent de termes qui renferment au premier degré seulement les 

 températures fixes, on reconnaît immédiatement que, si l'on décompose ces 

 dernières en un nombre quelconque de systèmes, et qu'on cherche les 

 valeurs de v,, v 2 , . . ., v n qui y correspondent respectivement, la somme de 

 tous ces systèmes de valeurs satisfait aux équations (1) et forme, par con- 

 séquent, la solution de la question proposée, pourvu que la superposition 

 des états initiaux corespondants à ces questions partielles recompose l'état 

 initial proposé. 



» Décomposition d' un état quelconque en états simples. — Un état simple 

 est celui où les températures de tous les points varient en conservant entre 

 elles des rapports constants. Cherchons tous les états simples possibles du 

 système précédent, où l'enceinte et les points à températures fixes sont à 

 zéro. Dans l'un quelconque d'entre eux, les rapports de toutes les tempéra- 

 tures à l'une d'elles, u, par exemple, devanï être constants, nous poserons» 



u a —a a u t , u 3 ,= a 3 w,,..., u„ — a n u,., 



