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 qui a pour intégrale, en désignant par C une constante arbitraire, 



et les températures de tous les points dans un état simple quelconque, seront 

 données par les équations suivantes : 



(7) «, = Ce~ ; ', « 2 = Ca 2 e- i ',. u t = Ca i e- )t ,..., u n = Ca„e- Xt . 



Tous les états simples se déduiront des équations (7) en mettant pour X les 

 n valeurs dont elle est susceptible, tant dans l'exponentielle que dans les 

 coefficients a a ,..., a n . 



Propriété importante des états simples. 



» Soient X,, X, deux racines différentes quelconques de l'équation 

 ç>(X) = o; les équations (7) donneront deux états simples correspondants 

 6V, m' 2 ,..., u' n et u\, w'j,..., u" n satisfaisant chacun aux équations (3). 



En observant que 



du, » 1 du 7 . , du n . , 



dt— "»"■«' * . "'"V <fc 



_ = -X 2 a 1 , _ = _X 2M2 ,.--, -j. 



il est facile de voir qu'on aura les deux systèmes suivants : 



— m { X,u t = — N, ù i + (1, 2) §L ■+■ (1, 3) m 3 ... + (1, n)u n , 



— m.X, z/ 2 = — N 2 tt'a 4- (2, i) z/ t + . . . -+- (2, n)u n , 



et 



— m„X, w'„ = — N„m'„ + (re, i)tt'i -f- . . . -t- (rc, n — i)wâ_„ 



— m { X 2 «", — ~ N 4 «', •+• (1, 2)w' 2 •+-... H- (1 , n) u" n , 



— m 2 X 2 «2 = — N 2 w" 2 -+■ (2, i)«i ■+- . . . •+- {2, «)«'',, 

 • 



>— m^ui = — N„m" + («, a i -+-•••+{«," — 1) ««-i- 



Multiplions respectivement les équations du premier système par ii\ , u\, . ..., 

 ul et ajoutons-les, puis multiplions celles du second respectivement par u t , 

 i/ 2 , tL,..., u n , et ajoutons-les entre elles : il est facile de reconnaître que 

 les seconds membres obtenus par ces deux additions seront les mêmes. 

 » En effet, on voit d'abord que les premiers termes seront identiquement 



