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 les mêmes de part et d'autre, puisque les coefficients N,, N 2 ,..., N„ sont 

 les mêmes et multiplieront les mêmes quantités «', u\ , ù 2 u\ , . . . , u' n u n . 



» Passons maintenant aux autres termes, et prenons l'expression géné- 

 rale «p û r Elle aura pour coefficient dans le premier système (q, p), et 

 dans le second (p, q). Or 



(?> P) — (/>> q)- 



Donc les sommes des seconds membres sont égales. Il en est donc de même 

 des sommes des premiers, et l'on aura par conséquent 



(X, — X 2 ) (m, u t u\ -f- m 2 u 2 «" 2 +... + m„ u n u n ) = o. 



Donc, si l'on a pris les deux racines X,, X 2 différentes, on devra avoir 



(8) m, u\ u\ -t- m 2 ù 2 u" 2 ■+■... ■+- m„ «'„ u" n , = o. 



» Ainsi, à une époque quelconque , si l'on multiplie la masse d'un 

 point quelconque par les valeurs correspondantes des températures de ce point 

 considéré dans deux états simples , commençant ou non ensemble dans deux 

 systèmes de points identiques } les sommes des produits seront constamment 

 nulles. 



» On peut exprimer la même propriété en supprimant de l'équation (8) 

 le facteur exponentiel, et on lui donne la forme suivante : 



(9) m, + m 2 d 2 a 2 + m 3 a 3 a 3 -+-... -+- m n a'„ a n = o. 



Ce théorème avait été démontré par moi dans un Mémoire présenté à l'A- 

 cadémie des Sciences en i83o, mais seulement dans le cas d'un corps con- 

 tinu, et en faisant usage de l'équation à la surface qui n'est pas, comme on 

 lésait, d'une aussi grande exactitude que l'équation indéfinie. La démons- 

 tration que nous venons d'en donner n'étant fondée que sur le principe 

 même qui sert de base à la théorie, n'est sujette à aucune difficulté; et la 

 proposition indépendante du nombre des points et de leurs distances res- 

 pectives est vraie dans le cas où ces points constituent ce que nous appelons 

 un corps solide quelconque , même non homogène. En l'appliquant au mou- 

 vement de la chaleur dans un cylindre, traité par Fourier, on obtient immé- 

 diatement l'équation 



£ 



uu' xdx = o, 

 à laquelle il n'est parvenu que par de longs détours d'analyse. 



