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L'équation ip().) = o a toutes ses racines réelles, positives et inégales. 



» i°. Nous commencerons par démontrer que l'équation 



?(X) = o 



ne peut avoir de racines imaginaires. 



» En effet, d'après la théorie générale des équations algébriques, si toutes 

 ses racines n'étaient pas réelles, celles qui ne le seraient pas seraient conju- 

 guées deux à deux et de la forme 



a ± b y/— i. 



Désignons ces deux racines par X,, X 2 ; les valeurs des coefficients <z 2 ,..., a„ 

 relatives à X, et X 2 ne différeront respectivement que par le signe de yj— 1, de 

 sorte que si l'on a 



a' 2 = A 2 + B 2 V— i,..., a'„ = A„ + B„\j— i, 

 on aura 



a» = A 2 — B a sj— i,..., a" = A„ — B„V— i, 



et, par suite, 



a' 2 a 2 = A* -+- B* ,... , a'„ a" = A* + B^, 



et l'équation (9) qui doit subsister puisqu'on n'a pas X, — X 2 = o, serait 

 impossible, comme composée de termes tous positifs. D'où il suit que l'é- 

 quation 



9 (X) = o 



ne peut avoir de racines imaginaires. 



» 2 . On reconnaît facilement qu'aucune de ces racines ne peut être né- 

 gative; car l'exponentielle e x ~ l deviendrait infinie avec t, si X était négatif. 

 Ainsi, dans l'état simple correspondant, les températures croîtraient indé- 

 finiment avec le temps, ce qui ne peut avoir lieu dans une enceinte à 

 température fixe. Il est évident, en effet, que la température la plus élevée 

 dans le système ne peut que s'abaisser, si elle est supérieure à toutes celles 

 de l'enceinte ; et si elle est inférieure à la plus élevée de l'enceinte, elle ne 

 pourra jamais la dépasser. Ainsi les racines de l'équation sont toutes réelles 

 et positives. 



» 3°. Il reste à s'assurer que, pour aucune valeur particulière des coef- 



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