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 ficients, il ne peut y en avoir d'égales; et cela est de la plus grande impor- 

 tance, car s'il en était autrement, les états simples ne suffiraient pas pour 

 la formation de l'état le plus général. 



» Remarquons maintenant que, quoique la fonction algébrique <p (X) ne 

 soit pas entière, il est toujours nécessaire pour que l'équation 



? (X) = o 

 ait des racines égales, que l'on ait pour ces valeurs 



?'(X) =o. 



» Or, comme nous l'avons déjà dit, la fonction ç(X) n'est autre chose 

 que le premier membre de la première des équations (6) dans lequel on 

 substituerait à a 2 , <z 3 , . . . , a„ les valeurs tirées des n — i dernières. On 

 aura donc ç'(X) en différentiant toutes les équations (5), et reportant dans 



la première les valeurs de -^~> -^> • • •> -rr tirées des n — i autres. On ob- 



1 d\ d\ dk 



tient par ces différentiations le système suivant : 



, . _. . da. 2 , . rfa 3 , ,. dx t , . da„ 



m 2 a i -h(m i l-m 2 ) 1 f ï +(2, 3)-^ + (2,4) ^ -+-... + (a,n) ^ =0, 

 ,„ 3 a s + (3,2)^ + (m 3 X + N 3 )^ + (3,4)^+...+ (3,rc)^"==o, 



m„a n + (/î,a)^ + («,3)^ + («,4)^+...+ (m„X-N„)^-" = o. 



» Si maintenant on multiplie les n — 1 dernières respectivement par a 2 , 

 a.,, . . . , a„, et qu'on les ajoute à la première, les coefficients des diverses 



quantités -vr»* •■> -~ seront séparément nuls en vertu des équations (6), et 



il restera 



(10) <P'(M = m \ -*- "*a a 2 + »'j a 3 +•••-+- m n aft, 



expression dans laquelle il faut toujours regarder a 2 , . . . , a n comme les 

 fonctions de X qu'on tirerait des n — 1 dernières équations (6). Mais leurs 

 valeurs sont nécessairement réelles, puisque toutes celles de X le sont, et 



