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que fl a ,.. ., a n n'entrent qu'au premier degré dans les équations (6); et 

 l'on peut même remarquer qu'elles ne pourraient être toutes nulles, puis- 

 qu'il faudrait supposer que tous les coefficients (2, 1), (3, 1),. ..,(«, 1) le 

 fussent aussi. Le second membre de l'équation (10) est donc composé de 

 termes essentiellement positifs et qui ne peuvent jamais se réduire tous à 

 zéro. Donc <p' (X) est toujours positif et ne peut être zéro. Donc l'équation 

 y (X) = o ne peut jamais avoir de racines égales, et par conséquent il y a 

 toujours n états simples différents. 



» Remarque. — Si l'on chassait le dénominateur de l'équation <p (X) = o, 

 sa dérivée changerait non-seulement de forme, mais encore de racines. 

 Ainsi, en désignant par F (X) =0, ce que devient ainsi l'équation q>(X) •= o, 

 F'(X) et <p'(X) seront très-différents, et n'auront, en général, de racines com- 

 munes que celles qui seraient multiples dans ç> (X) = o. Les théorèmes dé- 

 montrés sur F' (X) =one subsistent plus sur <p' (X) = o. Ainsi, par exemple, 

 si y (X) = o a toutes ses racines réelles et inégales, f'(X) n'a pas pour cela 

 toutes ses racines réelles et comprises chacune entre deux consécutives de 

 la première; elle peut même n'avoir aucune racine réelle.. C'est précisément 

 ce qui arrive dans la question qui vient de nous occuper; et c'est pour cela 

 que la forme que nous avons prise pour l'équation qui donne les valeurs de 

 X, s'est trouvée si commode pour démontrer l'impossibilité de l'existence 

 de racines égales. 



» Intégrales générales des équations (3). — La somme d'intégrales par- 

 ticulières de ces équations en formant encore une solution, si l'on désigne 

 par X,, X 2 ,..., X„ les n racines de l'équation y (X) = o, la solution générale 

 du système (3) sera donnée par les équations 



« ( = C,e-V +C 2 e-V +C 3 e~V + . . . -+- C„e-^\ 

 u, = C ( a' 2 e-V + C 2 «; e - V+ C 3 a';e- V + . . . + c„a c 2 n) e- ; -', 

 (1 1) { u 3 = C, K ' J rV + C 2 a;rV + C î a>-V+. . . + C n a.fe~^', 



u n =C t a' n e-V + C a a* n e-V+ C t a m n er-*. '+... + C,a':»r^, 



en désignant généralement par d p , u p ,. .., ap les résultats donnés par la 

 substitution des diverses racines X,, X a ,..., X„ dans l'expression générale a ; 

 et C ( , C 2 ,..., C„ étant des constantes arbitraires. 



» Si l'on fait t = o dans ces équations, et que l'on désigne en général par 

 «° la valeur initiale de u p , on aura, pour déterminer les constantes, les 



a.. 



