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 après une ou plusieurs révolutions du point, effectuées dans un sens on 

 dans un autre sur la courbe dont il s'agit, se trouvera augmenté ou diminué 

 d'un multiple de la période w, par conséquent Z ne changera pas de va- 

 leur, et l'on pourra en dire autant de la dérivée 



D„Z = J-lD.Z. 



>> Du théorème I er joint au théorème TI, on déduit immédiatement la 

 proposition suivante: 



» Théorème III. — Soit Z une fonction de z, simplement périodique, 

 représentons la période w par un rayon mené d'un point donné à un autre 

 point dans la direction qu'indique l'argument de cette période, et par les 

 extrémités de ce rayon menons deux droites parallèles l'une à l'autre. Si 

 la fonction Z, toujours monodrome et monogène pour une valeur finie de z, 

 devient infinie pour un nombre fini de valeurs de z propres à représenter les 

 affixes de points situés entre les deux parallèles, si d'ailleurs, c étant l'une 

 de ces valeurs, et h la valeur correspondante de l'exponentielle 



z 



u = e" ' 

 le rapport - est une quantité infiniment petite d'un ordre fini p. ou v, quand 



on considère la différence u — h, h. étant fini, ou le rapport -» // étant in- 

 fini, comme un infiniment petit du premier ordre, alors [x, v seront toujours 

 des nombres entiers, et Z sera une fonction rationnelle de « à laquelle on 

 pourra donner pour dénominateur le produit des facteurs de la forme 



' (u-hf. 



» Si, en nommant u la période de la variable z dans la fonction pério- 

 dique Z, supposée monodrome et monogène pour toute valeur finie de z, 

 on substituait à l'équation (9) la suivante 



(11) u = cos -> 



Z, considéré comme fonction de u, pourrait cesser d'être monodrome et 

 monogène pour toute valeur finie de u. Mais il serait fonction monodrome 

 et monogène de u et v si l'on supposait 



(12) u = cos -•> v = sin -> 



