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 ordre. Il y a plus : les intégrales obtenues étaient souvent de peu d'utilité 

 quand il s'agissait de résoudre le problème auquel se rapportait une équa- 

 tion différentielle. Ainsi, par exemple, à une équation dans laquelle deux 

 variables étaient séparées, on substituait une équation entre deux intégrales 

 définies. Mais on ne savait pas généralement tirer de cette équation nouvelle 

 la valeur de l'une des variables considérée comme fonction de l'autre, ou 

 du moins l'on n'y parvenait qu'en développant la fonction en une série 

 composée d'un nombre infini de termes, et à l'aide de formules qui, pour 

 l'ordinaire, ne subsistaient qu'entre certaines limites de la variable indé- 

 pendante. 



» C'est donc un véritable progrès dans la haute analyse et le calcul infini- 

 tésimal que d'être parvenu, comme l'ont fait MM. Briot et Bouquet, à inté- 

 grer sous forme finie un grand nombre d'équations du genre de celles que 

 nous venons de mentionner. Disons en peu de mots comment ils y ont 

 réussi. 



» Dans son Mémoire sur les fonctions algébriques, c'est-à-dire sur les 

 fonctions que déterminent des équations algébriques, M. Puiseux a dé- 

 montré les deux théorèmes suivants, dont le second peut aussi se déduire 

 d'une formule générale du calcul des résidus. 



» Théorème I. Si une fonction algébrique de z cesse d'être monodrome 

 pour une valeur c de cette variable, alors, pour une valeur de z très- 

 voisine de c, une racine quelconque de l'équation algébrique donnée sera 



développable en série convergente suivant les puissances ascendantes de 

 i 



(z — c) n , n étant l'ordre de la substitution circulaire qui comprend la racine 

 donnée, c'est-à-dire, le nombre qu'on obtient en joignant à cette racine 

 celles qui s'échangent avec elles quand on fait tourner le point dont l'affixe 

 est z autour du point dont l'affixe est c. 



» Théorème II. Une fonction algébrique monodrome est nécessairement 

 rationnelle. 



» En partant de ces deux théorèmes, MM. Briot et Bouquet en ont ob- 

 tenu d'autres, et particulièrement ceux que nous allons rappeler. 



» Théorème I. u étant une fonction de z déterminée par l'équation 

 différentielle 



(0 D Z « = U, 



dans laquelle U est une racine de l'équation algébrique 



(2) F(k,U) = o, 



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