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 si l'intégrale u admet un nombre limité de valeurs pour chaque valeur de z, 

 m, considérée comme fonction de z, sera non périodique, ou simplement 

 périodique) ou doublement périodique, et de plus fonction algébrique dans 



le premier cas de z, dans le second cas de tang — ? w étant la période de la 



variable z, dans le troisième cas de la fonction elliptique X(z) correspon- 

 dante aux deux périodes données. 



» Théorème II. Si l'intégrale « est monodrome, elle sera une fonction 



rationnelle ou de z, ou de rang — > ou de >. (z) et de X'(z). 



» Théorème III. L'équation (a) étant du degré m par rapport à U, les 

 conditions nécessaires pour que l'intégrale u de l'équation (i) ne cesse 

 jamais d'être fonction monodrome de z sont les suivantes : i° le coefficient 

 de U" dans F (u, U) devra être une fonction entière de u, d'un degré égal 

 ou inférieur au double de m — n ; 2 quand, pour valeur h de u, la fonction 

 implicite U deviendra une racine multiple différente de zéro, elle devra 

 rester dans le voisinage du point dontl'affixe est h, fonction monodrome de. 

 u; 3° quand la racine multiple sera nulle, l'exposant de u — h dans le pre- 

 mier terme du développement de U suivant les puissances ascendantes de 

 1 



(u — h) n devra être de la forme 1 si cet exposant est plus petit que l'u- 

 nité; 4° enfin l'équation transformée que l'on déduira de l'équation (a) en 

 posant u — - devra offrir les mêmes caractères pour v = o. 



» Théorème IV. Les conditions qui rendent monodrome l'intégrale de 

 l'équation (1) étant remplies, cette intégrale sera doublement périodique 

 si l'équation (2), pour une valeur finie h de m, et la transformée, pour 

 v = o, n'admettent pas de racines nulles et telles que, pour des valeurs 

 infiniment petites de u — h ou de v, U se développe en une série dont 

 le premier terme offre un exposant égal ou supérieur à l'unité; l'in- 

 tégrale sera rationnelle si l'équation (2), pour une valeur finie de h, ou la 



transformée pour v = o, admet un groupe de n racines égales à zéro, dont 



1 1 



le développement suivant les puissances ascendantes de (u — h) n ou de v" 



I 2 



commence par un terme du degré 1 + -> le terme suivant du degré 1 -l- - 



étant nul; ces cas exceptés, la fonction u sera simplement périodique. 



» Après avoir obtenu les remarquables théorèmes que nous venons de 

 rappeler, MM. Briot et Bouquet ont voulu mettre encore en évidence le 



