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 produit dans ce voisinage une variation infiniment petite de Z. La limite 

 vers laquelle converge le rapport de la seconde variation à la première, 

 tandis que chacune des variations s'approche indéfiniment de zéro, est pré- 

 cisément la fonction dérivée, et dépend en général tout à la fois de l'affixe z 

 et de la direction suivant laquelle se meut, quand z varie, le point dont 

 l'affixe est z. Mais si la fonction dérivée reprend la même valeur pour deux 

 directions distinctes, elle deviendra complètement indépendante de la direc- 

 tion, et sera une fonction monogène. Enfin une fonction continue de la 

 variable z est monodrome, lorsque pour chaque valeur de z la valeur de Z 

 demeure unique tant qu'elle n'est pas infinie. 



» Une fonction sjnectique est une fonction monodrome et monogène qui 

 ne devient pas infinie pour des valeurs particulières de la variable- 



» Une fonction peut être monodrome, monogène, ou synectique seule- 

 ment entre certaines limites déterminées par le système des lignes droites 

 ou courbes qui enveloppent une certaine aire, c'est-à-dire tant que la va- 

 riable z représente l'affixe d'un point renfermé dans l'aire dont il s'agit. 



» Ces principes étant posés, on reconnaît sans peine que les fonctions 

 monodromes et monogènes sont précisément celles auxquelles s'appliquent 

 les formules générales que j'ai déduites du calcul des résidus, comme aussi 

 celles que j'ai données pour la détermination des intégrales définies, pour 

 l'énumération des racines réelles ou imaginaires des équations algébriques 

 ou même transcendantes, et pour le développement des fonctions explicites 

 ou implicites en séries convergentes et en produits convergents , les fonc- 

 tions implicites pouvant d'ailleurs être déterminées, soit par des équations 

 finies, soit par un système d'équations différentielles. Ainsi, par exemple, 

 c'est à une fonction monodrome et monogène f (z) que se rapporte la for- 

 mule 



que j'ai donnée à la page 1 36 du I er volume des Exercices de Mathéma- 

 tiques, et qui détermine immédiatement les fractions simples et la fonction 

 entière dont la somme reproduit une fonction rationnelle î(x); c'est encore 

 à une fonction monodrome et monogène f (z) que s'applique l'équation (26) 

 de mon Mémoire du 27 octobre i83i, c'est-à-dire la formule 



(2) rf(s)D 1 zrf/=27riC(f(z)), 



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