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dans laquelle le signe C indique un résidu intégral relatif aux points renfer- 

 més dans une certaine aire qu'enveloppe un certain contour, s une longueur 

 mesurée sur ce contour, depuis un point donné jusqu'à celui dont z est l'af- 

 fixe, et c le contour entier. Remarquons d'ailleurs que la formule (2) com- 

 prend, comme cas particulier, des équations générales données dans les 

 Exercices de Mathématiques et ailleurs, par exemple l'équation 



(3) r i{ X )dx=™\ *£" (fco), 



J — 00 — 00 



qui subsiste quand le produit zf(z) s'évanouit pour des points situés à 

 une distance infinie du pôle au-dessus de l'axe polaire, et les formules 



(4) f(o) = ^f(z), 



(5) i{x)=: ^m, 



qui supposent f(z) synectique pour le module attribué à z et pour un mo- 

 dule plus petit, le module de x devant être, dans la formule (5), inférieur 

 au module de z. 



» En m'appuyant sur les principes que je viens de rappeler, j'ai été con- 

 duit à de nouveaux théorèmes et à des formules nouvelles qui paraissent 

 dignes de quelque attention, et qui se rapportent, soit aux fonctions expli- 

 cites ou implicites, soit à l'intégration d'un système d'équations différen- 

 tielles. Je me propose de développer successivement ces théorèmes et ces 

 formules. Je me bornerai pour le moment à en donner une idée. 



§ II, — Sur les fonctions déterminées par des équations finies. 



» En vertu de la formule (5) du § 1 er , une fonction Z == f (z), qui reste 

 synectique tant que la variable z conserve un module inférieur à*une cer- 

 taine limite r, est développable en série convergente ordonnée suivant les 

 puissances ascendantes de z. 



» Lorsque la fonction f (z) est explicite, on peut aisément reconnaître 

 avec facilité si elle est synectique, au moins dans le voisinage d'une valeur 

 donnée de z. Il reste à examiner le cas où la fonction est implicite, par exem- 

 ple le cas où elle est déterminée par une équation de la forme 



(1) F(z, Z) = o. 



Alors, si C représente une valeur finie de Z correspondante à une valeur finie 



